接円

2017年5月18日

接円の問題です。まずは2次関数の接円の問題から。

1.(東京理科大)
直線y=xと放物線y=-x^2+4x-3に同時に接する円をCとする.ただし,円と放物線が点Pで接するとは,その円と放物線が点Pを共有し,点Pにおける接線が共通であることをいう.
(1) 円Cの中心の座標が(  ),半径が(  )のとき,円Cと放物線が点(2,1)で接する.
(2) 円Cと放物線が点(  )で接するとき,この点における円と放物線の共通の接線は直線y=xと平行になる.また,このとき円Cの中心の座標は(  )であり,半径は(  )である.

2.(岐阜大)
放物線y=x^2上の点P(t,t^2)において,放物線y=x^2と共通接線をもち,半径が\sqrt{1+4t^2}の円を考える.変数tが正の実数全体を動くとき,この円の中心の軌跡を求め,これを図示せよ.

次は3次関数の接円の問題です。

3.(京都府立医大)
xy平面において,y軸上に中心をもつ円C_1y=x^3で表される曲線C_2は異なる2つの共有点A, Bをもち,AおよびBの両方の点において,C_1C_2は共通の接線をもつとする.
(1) 点Aまたは点Bは原点Oと一致することを示せ.
(2) 円C_1の中心の座標を求めよ.

4.(関西学院大)
xy平面上の3次曲線K:y=\dfrac{3}{2}x\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)について
(1) 原点で曲線Kと接線を共有している円Cの方程式を求めよ.ただし,円Cの中心のx座標をp~(p \ne 0)とする.
(2) さらに,曲線Kと円Cとが,原点以外のK上の点でも接線を共有するとき,円Cの方程式を求めよ.

解答

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