方程式への応用1

2018年8月19日

方程式への応用の問題です。

1.(名古屋大)
関数f(x)xの3次式で,x=0で極大値3をとり,x=1で極小値-1をとるものとする.
(1) f(x)を求め,そのグラフの概形をかけ.
(2) f(x)=0の負の解を-\alpha,正の解を\beta,~\gamma~(\beta<\gamma)をするとき,\alpha<\betaであることを証明せよ.

2.(一橋大)
f(x)=x^3-x^2-x-1,~g(x)=x^2-x-1とする.
(1) 方程式f(x)=0はただ1つの実数解\alphaをもつことを示せ.また,1<\alpha<2であることを示せ.
(2) 方程式g(x)=0の正の解を\betaとする.\alpha\betaの大小を比較せよ.
(3) \alpha^2\beta^3の大小を比較せよ.

3.(岡山大)
関数f(x)=8x^3-6x-1について,
(1) f(x)=0を満たす実数xの個数を求めよ.
(2) a=\cos\dfrac{5\pi}{9}とするとき,f(a)の値を求めよ.
(3) 不等式-\dfrac{1}{5}<\cos\dfrac{5\pi}{9}<-\dfrac{1}{6}を証明せよ.

4.(大阪大)
(1) \cos 3\theta=f(\cos\theta),~\cos 4\theta=g(\cos\theta)となる3次式f(x)と4次式g(x)を求めよ.
(2) \alpha=\dfrac{360^{\circ}}{7}とする.\cos 3\alpha=\cos 4\alphaを示し,整数を係数にもつ3次式P(x)P(\cos\alpha)=0となるものを1つ求めよ.
(3) \cos\dfrac{360^{\circ}}{7}の小数第1位の値を求めよ.

次はある区間にただ1つだけ解をもつことを示す問題です。数Ⅲではよく見る問題ですが、数Ⅱではあまり見かけません。何を示せばよいかを明確にして解いてみて下さい。

5.(鳥取環境大)
3次方程式x^3+2x^2+2x-2=0の実数解がただ1つであり,その実数解x=a-0.5<a<1であることを示せ.

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