方程式への応用１

2016年10月27日2018年8月19日

方程式への応用の問題です。

１．(名古屋大)
関数 $f(x)$ は $x$ の3次式で， $x=0$ で極大値3をとり， $x=1$ で極小値 $-1$ をとるものとする．
(1) $f(x)$ を求め，そのグラフの概形をかけ．
(2) $f(x)=0$ の負の解を $-\alpha$ ，正の解を $\beta,~\gamma~(\beta<\gamma)$ をするとき， $\alpha<\beta$ であることを証明せよ．

２．(一橋大)
$f(x)=x^3-x^2-x-1,~g(x)=x^2-x-1$ とする．
(1) 方程式 $f(x)=0$ はただ1つの実数解 $\alpha$ をもつことを示せ．また， $1<\alpha<2$ であることを示せ．
(2) 方程式 $g(x)=0$ の正の解を $\beta$ とする． $\alpha$ と $\beta$ の大小を比較せよ．
(3) $\alpha^2$ と $\beta^3$ の大小を比較せよ．

３．(岡山大)
関数 $f(x)=8x^3-6x-1$ について，
(1) $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．
(2) $a=\cos\dfrac{5\pi}{9}$ とするとき， $f(a)$ の値を求めよ．
(3) 不等式 $-\dfrac{1}{5}<\cos\dfrac{5\pi}{9}<-\dfrac{1}{6}$ を証明せよ．

４．(大阪大)
(1) $\cos 3\theta=f(\cos\theta),~\cos 4\theta=g(\cos\theta)$ となる3次式 $f(x)$ と4次式 $g(x)$ を求めよ．
(2) $\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{7}$ とする． $\cos 3\alpha=\cos 4\alpha$ を示し，整数を係数にもつ3次式 $P(x)$ で $P(\cos\alpha)=0$ となるものを1つ求めよ．
(3) $\cos\dfrac{360^{\circ}}{7}$ の小数第1位の値を求めよ．