方程式への応用５

2016年10月27日2017年6月21日

最後に合成関数の解の個数の問題です。

１．(京都大)
$0 \leqq \theta < 360$ とし， $a$ を定数とする． $\cos 3\theta^{\circ}-\cos 2\theta^{\circ}+3\cos\theta^{\circ}-1=a$ を満たす $\theta$ の値はいくつあるか． $a$ の値によって分類せよ．

２．(京都大)
$0 \leqq x < 2\pi$ のとき，方程式 $2\sqrt{2}(\sin^3 x+\cos^3 x)+3\sin x\cos x=0$ を満たす $x$ の個数を求めよ．

３．(東京大)
関数 $f(x),~g(x),~h(x)$ を次で定める．
$f(x)=x^3-3x,~g(x)=\{f(x)\}^3-3f(x),~h(x)=\{g(x)\}^3-3g(x)$
このとき，
(1) $a$ を実数とする． $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．
(2) $g(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．
(3) $h(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

→解答

４．(一橋大)
$a$ は実数の定数とし， $f(y)=y^2+ay+a^2-1,~g(x)=4x^3-3x$ とする．
(1) 実数の定数 $c$ に対し， $x$ についての方程式 $g(x)=c$ の異なる実数解の個数を求めよ．
(2) $x$ についての方程式 $f(g(x))=0$ が異なる6個の実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ．

５．(京都大)
実数 $a$ に対して， $f(x)=x^3-3ax$ とおく．
(1) $t$ を実数とする．方程式 $f(x)=t$ が相異なる3個の実数解を持つために $a$ と $t$ が満たすべき条件を求めよ．
(2) $g(x)=f(f(x))$ とおく．方程式 $g(x)=0$ が相異なる9個の解を持つような $a$ の範囲を求めよ．