方程式への応用5

2017年6月21日

最後に合成関数の解の個数の問題です。

1.(京都大)
0 \leqq \theta < 360とし,aを定数とする.\cos 3\theta^{\circ}-\cos 2\theta^{\circ}+3\cos\theta^{\circ}-1=aを満たす\thetaの値はいくつあるか.aの値によって分類せよ.

2.(京都大)
0 \leqq x < 2\piのとき,方程式2\sqrt{2}(\sin^3 x+\cos^3 x)+3\sin x\cos x=0を満たすxの個数を求めよ.

3.(東京大)
関数f(x),~g(x),~h(x)を次で定める.
f(x)=x^3-3x,~g(x)=\{f(x)\}^3-3f(x),~h(x)=\{g(x)\}^3-3g(x)
このとき,
(1) aを実数とする.f(x)=aを満たす実数xの個数を求めよ.
(2) g(x)=0を満たす実数xの個数を求めよ.
(3) h(x)=0を満たす実数xの個数を求めよ.

解答

4.(一橋大)
aは実数の定数とし,f(y)=y^2+ay+a^2-1,~g(x)=4x^3-3xとする.
(1) 実数の定数cに対し,xについての方程式g(x)=cの異なる実数解の個数を求めよ.
(2) xについての方程式f(g(x))=0が異なる6個の実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.

5.(京都大)
実数aに対して,f(x)=x^3-3axとおく.
(1) tを実数とする.方程式f(x)=tが相異なる3個の実数解を持つためにatが満たすべき条件を求めよ.
(2) g(x)=f(f(x))とおく.方程式g(x)=0が相異なる9個の解を持つようなaの範囲を求めよ.

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