不等式への応用1

2017年6月23日

不等式への応用の問題です。これもどこに文字がついているかに注意しながら解いてみて下さい。

1.
x \geqq 0において,不等式x^3+a>6x^2が成り立つように,正の定数aの値の範囲を定めよ.

2.(岡山大)
aを実数とする.x \leqq 0において,常にx^3+4x^2 \leqq ax+18が成り立っているものとする.このとき,aのとり得る範囲を求めよ.

3.((1) 慶応大 (2) 東京海洋大)
(1) すべてのx \geqq 0に対してx^3-3x^2 \geqq k(3x^2-12x-4)が成り立つ定数kの値の範囲を求めよ.
(2) xの3次関数f(x)f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax+aによって定める.x \geqq 0の範囲でf(x) \geqq 0となるようなaの値の範囲を求めよ.

4.(京都大)
3次関数f(x)=x^3+ax^2+bが区間0 \leqq x \leqq 1において,つねに正の値をとるのは,点(a,b)が座標平面のどの範囲にあるときかを図示せよ.

解答

5.(関西学院大)
関数f(x)=2x^3-3x^2+5について,
(1) 関数y=f(x)の増減表をかき,その極値を求めよ.また,関数y=f(x)のグラフとx軸との交点を求めよ.
(2) 点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ.
(3) 不等式|f(x)| \geqq 3x+kがすべての実数xに対して成り立つような実数kのとりうる値の範囲を求めよ.

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