不等式への応用2

2017年6月23日

今度は多変数の場合です。

1.(学習院大)
a>0,~b>0,~c>0とする.
(1) f(x)=x^3-3abx+a^3+b^3x>0における増減を調べ,極値を求めよ.
(2) (1)の結果を利用して,a^3+b^3+c^3 \geqq 3abcが成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはa=b=cのときに限ることを示せ.

2.(一橋大)
(1) kを実数とする.x \geqq 0ならば常に4x^3+1 \geqq kxとなるようなkの値の範囲を求めよ.
(2) x \geqq 0,~y \geqq 0のとき,\dfrac{4(x^3+y^3)+5}{x+y+1}の最小値とそのときのx,~yの値を求めよ.

解答

3.(千葉大)
0以上1以下の実数a,~b,~c,~dに対して
abcd \leqq \dfrac{4}{27}または(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \dfrac{4}{27}
が成り立つことを証明せよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ