積分の計算

2017年10月24日

積分の計算問題です。まずは不定積分についてです。

1.(共立薬科大)
関数f(x),~g(x) (いずれも定数でない)が,
f(0)=1
{\displaystyle\int_{0}^{x}}\{f(t)+g(t)\}dt=\dfrac{x^3}{3}-x
\dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\}=6x^2-12x+6
の条件を満たしているとき,
(1) f(x)+g(x)=(~~~~~)である.
(2) g(0)=(~~~~~)だから,f(x)g(x)=(~~~~~)である.
(3) (1), (2)の結果から,f(x),~g(x)を求めよ.

2.(慶応大)
f(x)xの2次関数,g(x)xの1次関数とする.f(x),~g(x)と実数\alpha,~\betaについて,xに関する恒等式
\dfrac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}=6x-38+{\displaystyle\int_{0}^{\alpha}}f(x)dx,~\\ \dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\}=18x^2-58x+28+{\displaystyle\int_{0}^{\beta}}g(x)dx
が成り立ち,さらにf(-1)=16,~g(-1)=-9が成り立つとする.このとき,f(x),~g(x)を求めよ.また,\alpha,~\betaの値を求めよ.

次に定積分の計算問題です。

3.(東京大)
2次関数f(x)=x^2+ax+bに対して
f(x+1)=c{\displaystyle\int_{0}^{1}}(3x^2+4xt)f'(t)dt
xについての恒等式となるような定数a,~b,~cの組をすべて求めよ.

4.(芝浦工業大)
(1) すべての自然数kに対して{\displaystyle\int_{k}^{k+1}}(x^3+ax^2+bx+c)dx=k^3が成り立つように定数a,~b,~cの値を求めよ.
(2) (1)を用いて次の和を求めよ.
1^3+2^3+\cdots+n^3

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