積分の計算

2016年10月29日2017年10月24日

積分の計算問題です。まずは不定積分についてです。

１．(共立薬科大)
関数 $f(x),~g(x)$ (いずれも定数でない)が，
$f(0)=1$
${\displaystyle\int_{0}^{x}}\{f(t)+g(t)\}dt=\dfrac{x^3}{3}-x$
$\dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\}=6x^2-12x+6$
の条件を満たしているとき，
(1) $f(x)+g(x)=(~~~~~)$ である．
(2) $g(0)=(~~~~~)$ だから， $f(x)g(x)=(~~~~~)$ である．
(3) (1), (2)の結果から， $f(x),~g(x)$ を求めよ．

２．(慶応大)
$f(x)$ を $x$ の2次関数， $g(x)$ を $x$ の1次関数とする． $f(x),~g(x)$ と実数 $\alpha,~\beta$ について， $x$ に関する恒等式
$\dfrac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}=6x-38+{\displaystyle\int_{0}^{\alpha}}f(x)dx,~\\ \dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\}=18x^2-58x+28+{\displaystyle\int_{0}^{\beta}}g(x)dx$
が成り立ち，さらに $f(-1)=16,~g(-1)=-9$ が成り立つとする．このとき， $f(x),~g(x)$ を求めよ．また， $\alpha,~\beta$ の値を求めよ．

次に定積分の計算問題です。

３．(東京大)
2次関数 $f(x)=x^2+ax+b$ に対して
$f(x+1)=c{\displaystyle\int_{0}^{1}}(3x^2+4xt)f'(t)dt$
が $x$ についての恒等式となるような定数 $a,~b,~c$ の組をすべて求めよ．

４．(芝浦工業大)
(1) すべての自然数 $k$ に対して ${\displaystyle\int_{k}^{k+1}}(x^3+ax^2+bx+c)dx=k^3$ が成り立つように定数 $a,~b,~c$ の値を求めよ．
(2) (1)を用いて次の和を求めよ．
$1^3+2^3+\cdots+n^3$