偶関数・奇関数の積分

2017年12月12日

偶関数、奇関数の積分計算です。

1.
nが自然数のとき,次のことを示せ.
(1) {\displaystyle\int_{-a}^{a}}x^{2n}dx=2{\displaystyle\int_{0}^{a}}x^{2n}dx
(2) {\displaystyle\int_{-a}^{a}}x^{2n-1}dx=0

2.(京都大)
実数a,~b,~cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする.このとき
{\displaystyle\int_{-1}^{1}}(1-x^2)\{f'(x)\}^2dx \leqq 6{\displaystyle\int_{-1}^{1}}\{f(x)\}^2dx
であることを示せ.

解答

次は方程式との融合問題です。

3.(首都大)
3次式f(x)=x^3+ax^2+bx+cに対し,方程式f(x)=0は相異なる3個の実数解-1,~\alpha,~\betaをもち,\alpha^2+\beta^2=1を満たすとする.
(1) a,~b,~cをそれぞれ\alpha\betaを用いて表せ.
(2) caを用いて表せ.
(3) {\displaystyle\int_{-1}^{1}}f(x)dxの値のとりうる範囲を求めよ.

最後に不等式との融合問題です。

4.(東京大)
a,~b,~cを実数とし,a \ne 0とする.2次関数f(x)=ax^2+bx+cが次の条件(A), (B)を満たすとする.
(A) f(-1)=-1,~f(1)=1,~f'(1) \leqq 6
(B) -1 \leqq x \leqq 1を満たすすべてのxに対し,f(x) \leqq 3x^2-1
このとき,積分I={\displaystyle\int_{-1}^{1}}\{f'(x)\}^2dxの値のとりうる範囲を求めよ.

解答

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