1/6公式

2016年12月2日

1/6公式の証明および計算問題です。これらは後に学びますが、ベータ関数というものが背景となっています。

1.(大阪教育大)
2次方程式x^2+ax+b=0は,2つの実数解\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)をもつとする.このとき,
(1) {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x^2+ax+b)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3であることを示せ.
(2) {\displaystyle\int_{\alpha}^{\gamma}}(x^2+ax+b)dx=0となる\gamma~(\gamma>\alpha)を,\alpha,~\betaで表せ.

2.
Ⅰ.\alpha<\betaのとき,次の等式が成り立つことを証明せよ.
(1) {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
(2) {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)^2dx=\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
(3) {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx=\dfrac{1}{30}(\beta-\alpha)^5
Ⅱ.定積分{\displaystyle\int_{-1}^{1}}x(x+1)(x-1)dxの値を求めよ.

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