1/6公式

2016年10月29日2016年12月2日

1/6公式の証明および計算問題です。これらは後に学びますが、ベータ関数というものが背景となっています。

１．(大阪教育大)
2次方程式 $x^2+ax+b=0$ は，2つの実数解 $\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)$ をもつとする．このとき，
(1) ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x^2+ax+b)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ であることを示せ．
(2) ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\gamma}}(x^2+ax+b)dx=0$ となる $\gamma~(\gamma>\alpha)$ を， $\alpha,~\beta$ で表せ．

２．
Ⅰ． $\alpha<\beta$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$
(2) ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)^2dx=\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$
(3) ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx=\dfrac{1}{30}(\beta-\alpha)^5$
Ⅱ．定積分 ${\displaystyle\int_{-1}^{1}}x(x+1)(x-1)dx$ の値を求めよ．