絶対値積分１

2016年10月29日2017年12月12日

絶対値のついた関数の積分です。まずは絶対値の中身が1次の場合です。

１．(早稲田大)
$f(x)$ を $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}}|t-2|dt$ とする．ただし， $x \geqq 0$ とする．関数 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸， $x=1,~x=4$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

２．(東京大)
2次以下の整式 $f(x)=ax^2+bx+c$ に対し
$S={\displaystyle\int_{0}^{2}}|f'(x)|dx$
を考える．
(1) $f(0)=0,~f(2)=2$ のとき， $S$ を $a$ の関数として表せ．
(2) $f(0)=0,~f(2)=2$ を満たしながら $f$ が変化するとき， $S$ の最小値を求めよ．

→解答

次に、絶対値が中途半端についている場合です。

３．(慶応大)
$f(x)=-(x+1)|x-4|+6$ とし， $F(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}}f(t)dt$ とする．
(1) 関数 $y=f(x)$ のグラフをかけ．
(2) $F(x)$ を計算せよ．
(3) $0 \leqq x \leqq 6$ における関数 $F(x)$ の最大値を求めよ．

４．(慶応大)
実数全体を定義域とする関数 $f(x)$ を
$f(x)=3{\displaystyle\int_{x-1}^{x}}(t+|t|)(t+|t|-1)dt$
によって定める．
(1) $f(x)$ を $x$ について場合分けをして， $x$ の多項式で表せ．
(2) 座標平面上に $y=f(x)$ のグラフをかけ．
(3) $x$ がすべての実数を動くときの $f(x)$ の最小値を求めよ．

関連ブログはこちら

数学Ⅱ　積分法絶対値積分

Posted by 山彦のフドウ

絶対値積分２

1/6公式

コメント一覧

まだ、コメントがありません