絶対値積分1

2017年12月12日

絶対値のついた関数の積分です。まずは絶対値の中身が1次の場合です。

1.(早稲田大)
f(x)f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}}|t-2|dtとする.ただし,x \geqq 0とする.関数y=f(x)のグラフとx軸,x=1,~x=4で囲まれる部分の面積を求めよ.

2.(東京大)
2次以下の整式f(x)=ax^2+bx+cに対し
S={\displaystyle\int_{0}^{2}}|f'(x)|dx
を考える.
(1) f(0)=0,~f(2)=2のとき,Saの関数として表せ.
(2) f(0)=0,~f(2)=2を満たしながらfが変化するとき,Sの最小値を求めよ.

解答

次に、絶対値が中途半端についている場合です。

3.(慶応大)
f(x)=-(x+1)|x-4|+6とし,F(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}}f(t)dtとする.
(1) 関数y=f(x)のグラフをかけ.
(2) F(x)を計算せよ.
(3) 0 \leqq x \leqq 6における関数F(x)の最大値を求めよ.

4.(慶応大)
実数全体を定義域とする関数f(x)
f(x)=3{\displaystyle\int_{x-1}^{x}}(t+|t|)(t+|t|-1)dt
によって定める.
(1) f(x)xについて場合分けをして,xの多項式で表せ.
(2) 座標平面上にy=f(x)のグラフをかけ.
(3) xがすべての実数を動くときのf(x)の最小値を求めよ.

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