絶対値積分2

2017年10月24日

次は絶対値の中身が2次の場合です。

1.(静岡大)
関数f(x)=|x^2-4x+3|について,
(1) y=f(x)のグラフをかけ.
(2) 関数F(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}}f(t)dtxの式で表せ.ただし,x \geqq 0とする.
(3) F(x)=2を満たすxを求めよ.

2.(名古屋市立大)
0以上の実数aに対してF(a)={\displaystyle\int_{-1}^{1}}|x^2-a^2|dxとするとき
(1) F(a)を求めよ.
(2) a0 \leqq a \leqq 2の範囲を動くとき,F(a)の最大値と最小値を求めよ.

3.(慶応大)
関数F(t)F(t)={\displaystyle\int_{0}^{1}}|x^2-2tx|dxによって定義する.
(1) 実数tで場合分けをして,F(t)tの式で表せ.
(2) t-1 \leqq t \leqq 1の範囲を動くときのF(t)の最大値と最小値を求めよ.

4.(早稲田大)
f(x)=x^2-x,~g(x)=mxとする.積分h(m)={\displaystyle\int_{0}^{3}}|f(x)-g(x)|dxについて,m0 \leqq m \leqq 3を満たしながら動くとき,h(m)の最大値,最小値を求めよ.

最後に方程式との融合問題です。まずは準備から。

5.(法政大)
xの2次方程式x^2=-2x+k+{\displaystyle\int_{0}^{1}}|t+k|dtは,いくつの実数解をもつか.ただし,kは実数の定数とする.

最後に。

6.(京都大)
aを実数とする.xの2次方程式
x^2-ax=2{\displaystyle\int_{0}^{1}}|t^2-at|dt
0 \leqq x \leqq 1の範囲にいくつの解をもつか.

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