絶対値積分3

2017年12月12日

最後に。何で積分するかに注意して下さい。

1.(岡山大)
関数f(x)f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-|x|~(|x| \leqq 1)\\ 0~(|x|>1) \end{array}\right.と定め,g(x)={\displaystyle\int_{0}^{1}}f(t-x)dtとする.
(1) 関数f(x)のグラフの概形をかけ.
(2) g(1)の値を求めよ.
(3) y=g(x)のグラフの概形をかけ.

解答

2.(同志社大)
x \geqq 0に対してf(x)={\displaystyle\int_{0}^{1}}|t-x|(t+x)dtとおくとき,
(1) f(1)の値を求めよ.
(2) x>1のときf(x)を計算し,x>1において関数y=f(x)のグラフをかけ.
(3) 0 \leqq x \leqq 1のときf(x)を計算し,0 \leqq x \leqq 1において関数y=f(x)のグラフをかけ.
(4) x \geqq 0における関数y=f(x)の最小値と,そのときのxの値を求めよ.

3.(京都大)
正の実数aに対し,実数全体で定義される関数g(x)g(x)={\displaystyle\int_{-2}^{2}}|x-t|(t^2-a^2)dtで定める.このとき,g(x)が最小値をもつようなaの値の範囲を求めよ.また,aがそのような範囲にあるとき,g(x)の最小値をaを用いて表せ.

解答

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