積分方程式1

2016年12月2日

積分方程式の問題です。まずは定積分型から。

1.((5) 明治大)
次の等式を満たす関数f(x)を求めよ.
(1) f(x)=4x+3{\displaystyle\int_{0}^{1}}f(t)dt
(2) f(x)=x^2+x{\displaystyle\int_{0}^{1}}f(t)dt+{\displaystyle\int_{-1}^{1}}f(t)dt
(3) f(x)=2x+{\displaystyle\int_{0}^{1}}(x+t)f(t)dt
(4) f(x)=3x^2+x{\displaystyle\int_{0}^{1}}f(t)dt+{\displaystyle\int_{0}^{1}}f'(t)dt
(5) f'(x)=x{\displaystyle\int_{0}^{1}}f(t)dt+{\displaystyle\int_{0}^{1}}tf'(t)dt,~{\displaystyle\int_{-2}^{2}}f(t)dt=28

2.((1) 東北大 (2) 大阪市立大)
(1) 関数f(x)f(x)=x^2-x{\displaystyle\int_{0}^{2}}|f(t)|dtを満たしているとする.このとき,f(x)を求めよ.
(2) すべての実数xに対してf(x)=x^2-x+2{\displaystyle\int_{0}^{2}}|t-1|f(t) dtを満たすxの多項式f(x)を求めよ.

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