積分方程式３

2016年10月29日2017年12月12日

最後に漸化式との融合問題です。まずは定積分型から。

１．(東京水産大)
$x$ の整式 $f_n(x)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を
$f_1(x)=3x^2,~f_{n+1}(x)=x^2+x+\dfrac{1}{3}{\displaystyle\int_{0}^{1}}f_n(x)dx$
で定める．
(1) $a_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}}f_n(x)dx$ として $a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ．
(2) $f_n(x)$ を求めよ．

→解答

２．(東京大)
$0<c<1$ とする．3次関数 $f(x)=-4x^3+3x^2$ に対し，
$f_1(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f(t)dt,~f_2(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f_1(t)dt$
とおく．以下関数 $f_3(x),~f_4(x),~\cdots$ を順次
$f_n(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f_{n-1}(t)dt~(n=3,~4,~\cdots)$
により定める．
(1) 関数 $f_n(x)$ を求めよ．
(2) $f_n(x)$ について， $0<x<1$ のとき， $f_n(x)=0$ を満たす $x$ がただ1つ存在することを示せ．

次に不定積分型です。

３．(関西大)
$f_1(x)=1,~f_{n+1}(x)=1+xf_n(x)+{\displaystyle\int_{0}^{x}}f_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定義された整式の列 $f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdots$ がある．
(1) $f_2(x),~f_3(x)$ をそれぞれ求めよ．
(2) $f_n(1)$ を $n$ の式で表せ．

→解答

４．(鳥取大)
以下の式で定義される整式の列 $\{f_n(x)\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ について，
$f_1(x)=\dfrac{1}{2}x+2 x^2f_{n+1}(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+{\displaystyle\int_{0}^{x}}tf_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $f_2(x),~f_3(x)$ を求めよ．
(2) 数学的帰納法を用いて， $f_n(x)$ は $x$ の1次式であることを示せ．
(3) $f_n(x)$ を求めよ．

→解答

５．(新潟大)
整式の列 $f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdots$ が，次の関係式により定義されている．
$f_1(x)=x^2+x-2,\\ x^2f_{n+1}(x)=2x^3+x^4+{\displaystyle\int_{0}^{x}}tf_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
このとき，
(1) $f_n(x)$ は $x$ の2次式であることを証明せよ．
(2) $f_n(x)$ を求めよ．

６．(一橋大)
関数 $f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdots$ を次のように定める．
$f_1(x)=x+2$
$f_{n+1}(x)=3{\displaystyle\int_{0}^{x}}f_n(t)dt-(x-1)f_n(x)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $f_n(x)=a_nx^2+b_nx+2$ と表せることを示せ．
(2) $a_n,~b_n$ を $n$ で表せ．

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