積分方程式3

2017年12月12日

最後に漸化式との融合問題です。まずは定積分型から。

1.(東京水産大)
xの整式f_n(x)~(n=1,~2,~3,~\cdots)
f_1(x)=3x^2,~f_{n+1}(x)=x^2+x+\dfrac{1}{3}{\displaystyle\int_{0}^{1}}f_n(x)dx
で定める.
(1) a_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}}f_n(x)dxとしてa_{n+1}a_nで表せ.
(2) f_n(x)を求めよ.

解答

2.(東京大)
0<c<1とする.3次関数f(x)=-4x^3+3x^2に対し,
f_1(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f(t)dt,~f_2(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f_1(t)dt
とおく.以下関数f_3(x),~f_4(x),~\cdotsを順次
f_n(x)=f(x)+{\displaystyle\int_{0}^{c}}f_{n-1}(t)dt~(n=3,~4,~\cdots)
により定める.
(1) 関数f_n(x)を求めよ.
(2) f_n(x)について,0<x<1のとき,f_n(x)=0を満たすxがただ1つ存在することを示せ.

次に不定積分型です。

3.(関西大)
f_1(x)=1,~f_{n+1}(x)=1+xf_n(x)+{\displaystyle\int_{0}^{x}}f_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定義された整式の列f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdotsがある.
(1) f_2(x),~f_3(x)をそれぞれ求めよ.
(2) f_n(1)nの式で表せ.

解答

4.(鳥取大)
以下の式で定義される整式の列\{f_n(x)\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)について,
f_1(x)=\dfrac{1}{2}x+2 x^2f_{n+1}(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+{\displaystyle\int_{0}^{x}}tf_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(2) 数学的帰納法を用いて,f_n(x)xの1次式であることを示せ.
(3) f_n(x)を求めよ.

解答

5.(新潟大)
整式の列f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdotsが,次の関係式により定義されている.
f_1(x)=x^2+x-2,\\ x^2f_{n+1}(x)=2x^3+x^4+{\displaystyle\int_{0}^{x}}tf_n(t)dt~(n=1,~2,~3,~\cdots)
このとき,
(1) f_n(x)xの2次式であることを証明せよ.
(2) f_n(x)を求めよ.

6.(一橋大)
関数f_1(x),~f_2(x),~f_3(x),~\cdotsを次のように定める.
f_1(x)=x+2
f_{n+1}(x)=3{\displaystyle\int_{0}^{x}}f_n(t)dt-(x-1)f_n(x)~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) f_n(x)=a_nx^2+b_nx+2と表せることを示せ.
(2) a_n,~b_nnで表せ.

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