面積2

2017年12月12日

2曲線で囲まれる部分の面積の問題です。

1.(宮崎大)
a0<a<1の範囲の定数とする.直線l:y=1-a^2と曲線C:y=1-x^2~(x \geqq 0)について,
(1) 曲線Cy軸,直線lで囲まれる部分の面積をS_1とし,曲線C,直線l,直線x=1で囲まれる部分の面積をS_2とする.S_1,~S_2aを用いて表せ.
(2) S=S_1+S_2とおくとき,0<a<1の範囲におけるSの最小値を求めよ.

2.(琉球大)
0 \leqq m \leqq 1とする.0 \leqq x \leqq 1の範囲で,曲線y=x^2と直線y=mxで挟まれた部分の面積をS(m)とする.
(1) S(m)を求めよ.
(2) S(m)が最小となるmの値と,そのときのS(m)の値を求めよ.

3.(一橋大)
0<t<1とし,放物線C:y=x^2上の点(t,t^2)における接線をlとする.Clx軸で囲まれる部分の面積をS_1とし,Clと直線x=1で囲まれる部分の面積をS_2とする.S_1+S_2の最小値を求めよ.

次は3次関数が絡んだものを3題。

4.(滋賀大)
2つの関数y=x^3-3x,~y=-x^2+3について
(1) 上の2つの関数のグラフの概形を同一座標平面上にかけ.
(2) (1)の2つのグラフで囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ.

5.(大阪大)
2曲線y=x^3-a^2x,~y=-x^2+a^2~(a>0)で囲まれている部分の面積を,aを用いて表せ.

解答

6.(大分大)
曲線y=x^2(x-1)と,直線y=xに関してこの曲線に対称な曲線とで囲まれる部分の面積を求めよ.

解答

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