面積4

円が絡んだ面積の問題です。

1.(京都大)
\alpha,~\betaを実数とする.xy平面内で,点(0,3)を中心とする円Cと放物線y=-\dfrac{x^2}{3}+\alpha x-\betaが点P(\sqrt{3},0)を共有し,さらにPにおける接線が一致している.
(1) \alpha,~\betaの値を求めよ.
(2) 円C,放物線y=-\dfrac{x^2}{3}+\alpha x-\betaおよびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

2.(広島大)
aを正の定数とし,座標平面上において,円C_1:x^2+y^2=1,放物線C_2:y=ax^2+1を考える.C_1上の点P\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)におけるC_1の接線lは点Q(s,t)C_2に接している.
(1) s,~tおよびaを求めよ.
(2) C_2,~lおよびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 円C_1上の点が点Pから点R(0,1)まで反時計回りに動いてできる円弧をC_3とする.C_2,~lおよびC_3で囲まれた部分の面積を求めよ.

3.(関西学院大)
放物線y=x^2と円x^2+(y-p)^2=1とが異なる2つの共有点A, Bで共通の接線をもつとき,A, Bを両端とする円の弧の短いほうと放物線とで囲まれる図形の面積を求めよ.

4.(京都大)
xy平面内の領域x^2+y^2 \leqq 2,~|x| \leqq 1で,曲線C:y=x^3+x^2-xの上側にある部分の面積を求めよ.

5.(大阪府立大)
kを正の実数とし,xy平面上の2曲線C_1:y=-x^3+kx,~C_2:x^2+y^2=kを考える.
(1) C_1C_2の共有点の個数を求めよ.
(2) C_1C_2が4つの共有点をもつとする.x \geqq 0,~y \geqq 0の範囲において,C_1C_2で囲まれた2つの部分の面積をそれぞれ求めよ.

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