面積６

2016年10月30日2017年12月12日

５の続きです。最大最小問題です。

１．(筑波大)
点 $(1,2)$ を通る直線と放物線 $y=x^2$ によって囲まれる図形の面積を最小にする直線の方程式を求めよ．またそのときの図形の面積を求めよ．

２．(東北大)
曲線 $C:y=x^2-2$ と直線 $L:y=x$ があり，曲線 $D:y=-(x-a)^2+b$ が $L$ と接している． $C$ と $L$ の2つの交点を結ぶ線分上に $D$ と $L$ の接点があるとき
(1) $b$ を $a$ で表し， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) 2つの曲線 $C$ と $D$ によって囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求めよ．
(3) $a$ が動くとき，(2)の面積 $S(a)$ の最大値と最小値を求めよ．

→解答

３．(名城大)
$xy$ 平面上に，円 $K:x^2+y^2=1$ と放物線 $C:y=x^2-2$ がある． $K$ 上の点F $(\cos\theta,\sin\theta)~(\pi<\theta<2\pi)$ における $K$ の接線を $l$ とし， $l$ と $C$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする．
(1) $l$ の方程式を $\theta$ を用いて表せ．
(2) $S$ を $\theta$ を用いて表せ．
(3) $S$ の最小値とそのときのPの座標を求めよ．

→解答

４．(東京都立大)
放物線 $C:y=x^2$ 上の点P $(\alpha,\alpha^2)$ を通る傾き $m~(m>0)$ の直線 $l$ がある．点Pでの $C$ の接線 $l'$ が $l$ と直交するとき，
(1) $\alpha$ の値と $l$ の方程式を $m$ を用いて表せ．
(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を $m$ を用いて表せ．
(3) $m$ を正の範囲で動かすときの $S$ の最小値と，そのときの $m$ の値を求めよ．