面積9

2017年12月12日

次も有名な構図です。

1.(佐賀大)
pを定数,qを正の定数とし,直線y=px+q\cdots①と放物線y=x^2\cdots②の2交点をそれぞれA(\alpha,\alpha^2), B(\beta,\beta^2)~(\alpha<\beta)とする.
(1) 直線①と放物線②で囲まれた部分の面積S_1\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3であることを示せ.
(2) 放物線②と,点A, Bにおける放物線②の接線とで囲まれた部分の面積をS_2\alpha,~\betaを用いて表し,比S_1:S_2を求めよ.

2.(東京工業大)
点Pから放物線y=\dfrac{1}{2}x^2へ2本の接線が引けるとき,2つの接点をA, Bとし,線分PA, PBおよびこの放物線で囲まれる面積をSとする.PA, PBが直交するときのSの最小値を求めよ.

解答

3.(東北大)
単位円上の点(a,b)から,放物線y=x^2へ異なる2本の接線が引けるとき,この2本の接線とy=x^2で囲まれた図形の面積を最大にしたい.このような点(a,b)を求めよ.

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