面積11

2018年8月19日

1/12公式を利用する問題です。

1.(一橋大)
2つの曲線
y=x^3+x^2+ax\cdots
x=y^3+y^2+ay\cdots
は原点で同じ直線に接している.
(1) aの値を求めよ.
(2) 曲線①と②で囲まれる部分の面積Sを求めよ.

解答

次は、有名な性質です。東大や、この性質を利用した極限の問題が同じ東工大で出題されています。

2.(東京工業大)
(1) 3次関数y=-x^3+ax^2+bx~(a>0)のグラフをCとする.原点を通る直線で,Cとちょうど2点を共有するものを2本求めよ.
(2) (1)で求めた直線のうち,傾きの大きい方をl_1,小さい方をl_2とする.Cl_1が囲む部分の面積をS_1Cl_2が囲む部分の面積をS_2とおく.この2つの面積の比S_1:S_2を求めよ.

解答

3.(九州大)
座標平面内の曲線y=x^3+ax^2+bx+cが点(c,0)においてx軸に接しているとする.ただし,a,~bは実数,c>0である.
(1) a,~bをそれぞれcを用いて表せ.
(2) この曲線とx軸で囲まれた部分の面積をSとする.Sを最小にするcの値を求めよ.

4.(京都大)
tを実数とする.y=x^3-xのグラフCへ点P(1,t)から接線を引く.
(1) 接線がちょうど1本だけ引けるようなtの範囲を求めよ.
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき,P(1,t)からCへ引いた接線とCで囲まれた部分の面積をS(t)とする.S(t)の取りうる値の範囲を求めよ.

5.(京都大)
2つの曲線y=x^3-xy=x^2-aが1点Pを通り,Pにおいて共通の接線をもっている.この2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ.

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