面積の二等分1

2017年12月12日

面積の二等分の問題です。

1.(東京理科大)
定数a,~bに対して,f(x)=x^3+ax^2+bxとおく.曲線y=f(x)x軸と相異なる3点で交わっているとき,
(1) a,~bの満たす条件を求めよ.
(2) b<0のとき,曲線y=f(x)x軸で囲まれた2つの図形の面積の和をa,~bを用いて表せ.
(3) b>0のとき,曲線y=f(x)x軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるためのa,~bの条件を求めよ.

2.(広島大)
xy平面上の曲線Cと直線lを次のように定める.
C:y=x(x-3)^2,~l:y=mx
(1) Clx \geqq 0において異なる3点で交わるようなmの値の範囲を求めよ.
(2) (1)で,Clで囲まれる2つの図形の面積が等しくなるmの値を求めよ.
(3) (2)のとき,2つの図形の面積の和を求めよ.

3.(奈良県立医大)
関数f(x)=x(x+1)(x-4)を考える.
(1) 実数kについて,方程式f(x)=kxが(1つの解0の他に)異符号の2つの実数解をもつための条件を求めよ.
(2) 実数kが(1)の条件を満たしているとする.このとき,曲線y=f(x)と直線y=kxは2つの領域を囲むが,これらの2つの領域の面積が一致することがあるかどうか調べよ.もし,あるとすれば,そのときのkの値を求めよ.

解答

4.(防衛大)
2つの曲線y=x(x-1)^2,~y=kx^2~(k>0)について
(1) この2つの曲線は相異なる3点で交わることを示せ.
(2) この2つの曲線で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなkの値を求めよ.

5.(東北大)
aを実数とする.xy平面上の2つの曲線C_1:y=x^3C_2:y=2x^2-axを考える.
(1) 2曲線C_1,~C_2が異なる3つの交点をもつためのaの条件を求めよ.
(2) 2曲線C_1,~C_2が異なる3つの交点をもち,C_1C_2で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなaの値を求めよ.

解答

6.(岐阜大)
2つの曲線y=x^3-a^2xy=x^2-bxに囲まれた2つの図形の面積が等しくなることがあるか.なければ,ないことを証明せよ.あれば,abが満たす関係式を求め,そのグラフをab平面上に図示せよ.

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