面積の二等分２

2016年10月30日2017年12月12日

次は、4次関数の場合です。

１．(広島大)
(1) 関数 $y=-x^4+2x^2$ のグラフの概形をかけ．
(2) 関数 $y=-x^4+2x^2$ のグラフと直線 $y=k$ が4点で交わるような実数 $k$ の値の範囲を求めよ．
(3) (2)のとき，4つの交点の $x$ 座標を小さい方から順に $-\alpha,~-\beta,~\beta,~\alpha$ とする．ただし， $0<\beta<\alpha$ である．このとき， $\dfrac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha+\beta}$ と $\dfrac{\alpha^5+\beta^5}{\alpha+\beta}$ の値をそれぞれ $k$ を用いて表せ．
(4) 関数 $y=-x^4+2x^2$ のグラフと直線 $y=k$ で囲まれる部分は3つあり，それらの面積は等しいという． $k$ の値を求めよ．

→解答

２．(大阪大)
曲線 $y=x(x-a)(x-b)(x-c)~(0<a<b<c)$ と $x$ 軸との交点を左から順にO, A, B, Cとする．線分OA, AB, BCとこの曲線によって囲まれる部分をそれぞれ $S,~T,~U$ とする．
(1) $S$ と $T$ の面積が等しくなるための必要十分条件は $3b^2-5(a+c)b+10ac=0$ であることを示せ．
(2) 上の曲線を $y$ 軸に関して対称移動し，次に $x$ 軸の正の方向に $c$ だけ平行移動してできる曲線の式を求めよ．
(3) $S$ と $T$ と $U$ の面積がすべて等しいとき， $b,~c$ を $a$ を用いて表せ．