面積の二等分2

2017年12月12日

次は、4次関数の場合です。

1.(広島大)
(1) 関数y=-x^4+2x^2のグラフの概形をかけ.
(2) 関数y=-x^4+2x^2のグラフと直線y=kが4点で交わるような実数kの値の範囲を求めよ.
(3) (2)のとき,4つの交点のx座標を小さい方から順に-\alpha,~-\beta,~\beta,~\alphaとする.ただし,0<\beta<\alphaである.このとき,\dfrac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha+\beta}\dfrac{\alpha^5+\beta^5}{\alpha+\beta}の値をそれぞれkを用いて表せ.
(4) 関数y=-x^4+2x^2のグラフと直線y=kで囲まれる部分は3つあり,それらの面積は等しいという.kの値を求めよ.

解答

2.(大阪大)
曲線y=x(x-a)(x-b)(x-c)~(0<a<b<c)x軸との交点を左から順にO, A, B, Cとする.線分OA, AB, BCとこの曲線によって囲まれる部分をそれぞれS,~T,~Uとする.
(1) STの面積が等しくなるための必要十分条件は3b^2-5(a+c)b+10ac=0であることを示せ.
(2) 上の曲線をy軸に関して対称移動し,次にx軸の正の方向にcだけ平行移動してできる曲線の式を求めよ.
(3) STUの面積がすべて等しいとき,b,~caを用いて表せ.

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