回転体の体積2

2017年6月29日

体積パズルの問題です。円錐や円錐台はなるべく積分しないで求めた方がよいと思います。まずは回転させる図形が回転軸に対して片側にだけある問題を解いてみましょう。

1.((2) 京都大)
(1) 放物線y=-x^2+4xと直線y=2xで囲まれた部分を,x軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ.
(2) 3次関数y=x^3-2x^2-x+2のグラフ上の点(1,0)における接線をlとする.この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る.その立体の体積を求めよ.

解答

2.(広島大)
放物線y=x^2と直線y=ax~(a>0)とで囲まれる図形をSとする.
(1) Sx軸のまわりに回転してできる回転体の体積V_1を求めよ.
(2) Sy軸のまわりに回転してできる回転体の体積V_2を求めよ.
(3) V_1=V_2であるようなaの値を求めよ.

解答

3.(群馬大)
原点から曲線C:y=\sqrt{x-a}~(a>0)に接線lを引く.C,~lおよびx軸によって囲まれる図形を,x軸とy軸のまわりにそれぞれ1回転して得られる2つの立体の体積が等しくなるように,定数aの値を定めよ.

解答

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