等式の証明

等式の証明の問題です。(2)はラグランジュの恒等式といって有名な等式です。

１．
次の等式を証明せよ．
(1) (a+b)(a^2+b^2)+(a-b)(a^2-b^2)=2(a^3+b^3)
(2) (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2

条件つきの等式の証明の問題です。

２．
a+b+c=0のとき，つぎの等式が成り立つことを証明せよ．
(1) a^3+b^3+c^3=3abc
(2) a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab

３．(早稲田大)
a+b+c \ne 0,~abc \ne 0を満たす実数a,~b,~cが
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}
を満たしている．このとき，任意の奇数nに対し
\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{(a+b+c)^n}
が成立することを示せ．

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Posted by 山彦のフドウ