不等式の証明２

2016年11月1日2017年3月5日

有名な問題です。

１．(専修大)
$|a|<1,~|b|<1,~|c|<1,~|d|<1$ のとき，次の不等式を証明せよ．
(1) $ab+1>a+b$
(2) $abc+1>a+bc$
(3) $abc+2>a+b+c$
(4) $abcd+3>a+b+c+d$

１を一般的に。

２．(大阪教育大)
$n$ は2以上の自然数とする． $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n \geqq 1$ ならば
$a_1+a_2+\cdots+a_n \leqq (n-1)+a_1a_2 \cdots a_n$
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．

最後に、一般の相加相乗平均の不等式の証明への応用です。

３．(秋田大)
(1) $a \geqq 1,~b \leqq 1$ の任意の正の数 $a,~b$ に対し， $a+b \geqq ab+1$ となることを証明せよ．
(2) $a_1a_2 \cdots a_n=1$ である任意の $n$ 個の正の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ に対し， $a_1+a_2+\cdots+a_n \geqq n$ となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3) (2)を用いて，任意の $n$ 個の正の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ に対し，
$\dfrac{{a_1}^n+{a_2}^n+\cdots+{a_n}^n}{n} \geqq a_1a_2 \cdots a_n$
となることを証明せよ．

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Posted by 山彦のフドウ

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