不等式の証明2

2017年3月5日

有名な問題です。

1.(専修大)
|a|<1,~|b|<1,~|c|<1,~|d|<1のとき,次の不等式を証明せよ.
(1) ab+1>a+b
(2) abc+1>a+bc
(3) abc+2>a+b+c
(4) abcd+3>a+b+c+d

1を一般的に。

2.(大阪教育大)
nは2以上の自然数とする.a_1,~a_2,~\cdots,~a_n \geqq 1ならば
a_1+a_2+\cdots+a_n \leqq (n-1)+a_1a_2 \cdots a_n
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.

最後に、一般の相加相乗平均の不等式の証明への応用です。

3.(秋田大)
(1) a \geqq 1,~b \leqq 1の任意の正の数a,~bに対し,a+b \geqq ab+1となることを証明せよ.
(2) a_1a_2 \cdots a_n=1である任意のn個の正の数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nに対し,a_1+a_2+\cdots+a_n \geqq nとなることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) (2)を用いて,任意のn個の正の数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nに対し,
\dfrac{{a_1}^n+{a_2}^n+\cdots+{a_n}^n}{n} \geqq a_1a_2 \cdots a_n
となることを証明せよ.

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