不等式の証明３

2016年11月1日

数学的帰納法を利用する問題です。

１．(京都大)
$n$ は2以上の整数であり， $\dfrac{1}{2}<a_j<1~(j=1,~2,~\cdots,~n)$ であるとき，不等式
$(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)>1-\left(a_1+\dfrac{a_2}{2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2^{n-1}}\right)$
が成立することを示せ．

２．(大阪大)
数列 $\{a_n\}$ において，各項 $a_n$ が $a_n \geqq 0$ をみたし，かつ $\sum_{k=1}^{\infty}a_n=\dfrac{1}{2}$ が成り立つとする．さらに各 $n$ に対し
$b_n=(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n),~c_n=1-(a_1+a_2+\cdots+a_n)$
とおく．
(1) すべての $n$ に対し不等式 $b_n \geqq c_n$ が成り立つことを数学的帰納法で示せ．
(2) ある $n$ について $b_{n+1}=c_{n+1}$ が成り立てば， $b_n=c_n$ となることを示せ．
(3) $b_3=\dfrac{1}{2}$ となるとき， $c_3=\dfrac{1}{2}$ であることを示せ．また $b_3=\dfrac{1}{2}$ となる数列 $\{a_n\}$ は全部で何種類あるかを求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ

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