不等式の証明3

数学的帰納法を利用する問題です。

1.(京都大)
nは2以上の整数であり,\dfrac{1}{2}<a_j<1~(j=1,~2,~\cdots,~n)であるとき,不等式
(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)>1-\left(a_1+\dfrac{a_2}{2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2^{n-1}}\right)
が成立することを示せ.

2.(大阪大)
数列\{a_n\}において,各項a_na_n \geqq 0をみたし,かつ\sum_{k=1}^{\infty}a_n=\dfrac{1}{2}が成り立つとする.さらに各nに対し
b_n=(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n),~c_n=1-(a_1+a_2+\cdots+a_n)
とおく.
(1) すべてのnに対し不等式b_n \geqq c_nが成り立つことを数学的帰納法で示せ.
(2) あるnについてb_{n+1}=c_{n+1}が成り立てば,b_n=c_nとなることを示せ.
(3) b_3=\dfrac{1}{2}となるとき,c_3=\dfrac{1}{2}であることを示せ.またb_3=\dfrac{1}{2}となる数列\{a_n\}は全部で何種類あるかを求めよ.

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