不等式の証明4

2乗の形を作って0以上であることを示す問題です。

1.(同志社大)
A,~B,~a,~b,~c,~dを実数とする.
(1) 不等式\left(\dfrac{A+B}{2}\right)^2 \leqq \dfrac{A^2+B^2}{2}を証明せよ.
(2) (1)を利用して,次の不等式を証明せよ.
\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^2 \leqq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}
(3) (2)を利用して,次の不等式を証明せよ.
\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}

2.(大阪市立大)
(1) 実数x,~yに対し(1+x)(1+y) \leqq \left(1+\dfrac{x+y}{2}\right)^2を示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか.
(2) a,~b,~c,~d-1以上の数とするとき
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4
を示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか.

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