不等式の証明6

判別式を利用した不等式の証明問題です。

1.(富山県立大)
a,~b,~c,~d,~xは実数とする.次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) a^2b^2-2abcd+c^2d^2 \geqq 0
(2) (a^2+b^2+1)x^2-2(ac+bd+1)x+c^2+d^2+1 \geqq 0
(3) (a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1) \geqq (ac+bd+1)^2

2.(高知大)
関数f(x)=nx^2-2(a_1+a_2+\cdots+a_n)x+({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)を考える.ただし,nは正の整数で,a_1,~a_2,~\cdots,~a_nは実数である.
(1) n=1およびn=2のとき,常にf(x) \geqq 0であることを示せ.
(2) すべてのnに対し,常にf(x) \geqq 0であることを示せ.
(3) (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2 \leqq n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)であることを示せ.
(4) (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)であれば,a_1,~a_2,~\cdots,~a_nはすべて等しいことを示せ.

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