不等式の証明7

自分で適切な不等式を作って解く問題です。理系では極限などでよくある状況です。

1.(愛媛大)
x_i>0~(i=1,~2,~\cdots,~n)のとき,不等式
1<\dfrac{x_1}{x_1+x_2}+\dfrac{x_2}{x_2+x_3}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_n}+\dfrac{x_n}{x_n+x_1}<n-1
が成り立つことを証明せよ.ただし,n \geqq 3とする.

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