有名不等式1

有名不等式の問題です。

1.(東北学院大)
a,~b,~cを実数とするとき,次の不等式を証明せよ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.
(1) a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca
(2) a^4+b^4+c^4 \geqq abc(a+b+c)

2.(慶応大)
a,~b,~cは正の数とする.このとき,不等式
\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c} \geqq \dfrac{3abc}{ab+bc+ca}
が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはa,~b,~cがどのような関係を満たすときか.

有名不等式を利用した最大最小の問題です。

3.(はこだて未来大)
x,~y,~zを実数とするとき,
(1) x^2+y^2+z^2 \geqq xy+yz+zxを示し,等号が成り立つときのx,~y,~zの条件を求めよ.
(2) x+y+z=1のとき,xy+yz+zx \leqq \dfrac{1}{3}を示し,等号が成り立つときのx,~y,~zの値をすべて求めよ.

4.(東北大)
a,~b,~cを正の実数で,abc=1を満たすものとする.このとき,次の(1), (2)の不等式を示せ.
(1) a^2+b^2+c^2 \geqq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geqq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}
(2) a+b+c \geqq 3

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ