不等式の証明8

両辺がともに正である場合の不等式の証明です。

1.
(1) a \geqq 0,~b \geqq 0のとき,\sqrt{a}+\sqrt{b} \geqq \sqrt{a+b}を証明せよ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.
(2) x,~yを任意の実数とするとき,不等式\sqrt{x^2+y^2} \leqq |x|+2|y| \leqq \sqrt{5}\sqrt{x^2+y^2}が成り立つことを示せ.
(3) |x|<1,~|y|<1のとき,\left|\dfrac{x+y}{1+xy}\right|<1を証明せよ.

2.(福井大)
(1) p>1,~q>1のとき,不等式p+q<pq+1を証明せよ.
(2) a>1,~b>1のとき,不等式\sqrt{a+b-1}<\sqrt{a}+\sqrt{b}-1を証明せよ.
(3) a>1,~b>1,~c>1のとき,不等式\sqrt{a+b+c-2}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2を証明せよ.

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