相加相乗平均の不等式1

2017年1月24日

相加相乗平均の不等式の証明の問題です。

1.
A,~B,~a,~b,~c,~dを正の実数とする.
(1) \dfrac{A+B}{2} \geqq \sqrt{AB}を証明せよ.
(2) (1)を利用して\dfrac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}を証明せよ.
(3) \dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{a+b+c+d}{4}を満たすdを考え,(2)を利用して\dfrac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}を証明せよ.

一般にnの場合についての証明は様々な方法があります。

(1) 数学的帰納法を利用→解答

(2) 微分を利用→

(3) 凸性を利用→

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