相加相乗平均の不等式2

相加相乗平均の不等式を利用した不等式の証明問題です。

1.(東北学院大)
a,~b,~cを正の数とするとき,次の各不等式が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのような場合か.
(1) a+\dfrac{1}{a} \geqq 2
(2) \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{4}{a}\right) \geqq 9
(3) \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\left(c+\dfrac{9}{a}\right) \geqq 48

2.(専修大)
a,~b,~cが正の数のとき,次の不等式を証明せよ.
(1) (b+c)(c+a)(a+b) \geqq 8abc
(2) \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geqq 6

3.(東京工業大)
a,~b,~c,~x,~y,~zはすべての正の数を表すとき,次の不等式を証明せよ.
(1) (b+c)(c+a)(a+b) \geqq 8abc
(2) xyz \geqq (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)

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