相加相乗平均の不等式3

相加相乗平均の不等式を利用した最大最小の問題です。

1.((2) 秋田大 (2) 摂南大)
(1) a>0のとき,\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(a+\dfrac{4}{a}\right)の最小値を求めよ.
(2) p>0,~q>0のとき,p+q+\dfrac{1}{\sqrt{pq}}の最小値を求めよ.
(3) a,~b,~c,~dがすべて正数とすれば\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}の最小値は(  )であり,\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}\right)の最小値は(  )である.

2.((1) 駒沢大 (2) 神奈川大)
(1) \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{y} \leqq 1,~x \geqq 1,~y \geqq 1のとき,x+8yの最小値を求めよ.また,このときのx,~yの値を求めよ.
(2) x>0,~y>0,~z>0とする.\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{1}{4}のとき,x+2y+3zの最小値を求めよ.

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