相加相乗平均の不等式４

2016年11月1日

３の続きです。

１．((1) 琉球大　(2) 関西大　(3) 甲南大)
(1) $x>1$ のとき， $x+\dfrac{1}{x-1}$ の最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値はいくらか．
(2) $x<1$ のとき， $x+\dfrac{1}{x-1}$ の最大値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
(3) $x^2+2x+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2}+2$ は $x=(~~~~~)$ のとき，最小値(　　)をとる．ただし， $x>0$ とする．

２．((1) 甲南大　(2) 同志社大)
(1) $x>0$ のとき， $\dfrac{x^2-4x+3}{x}$ は $x=(~~~~~)$ のとき，最小値(　　)をとる．
(2) $x>1$ のとき， $\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$ の最小値を求めよ．
(3) 実数全体で表された関数 $f(x)=\dfrac{x^4+3x^2+4}{x^2+1}$ の最小値を求めよ．

３．
$x$ が正の数のとき
(1) $x+\dfrac{16}{x}$ の最小値は(　　)であり， $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値は(　　)である．
(2) $\dfrac{x}{x^2+16}$ の最大値は(　　)であり，このときの $x$ の値は(　　)である．また， $\dfrac{x+2}{x^2+2x+16}$ の最大値は(　　)であり，このときの $x$ の値は(　　)である．

４．((1) 日本大　(2) 関西大)
(1) $x$ が実数のとき， $y=x^2-4x+9+\dfrac{25}{x^2-4x+9}$ は $x=(~~~~~)$ のとき，最小値(　　)をとる．
(2) $x$ が実数全体を動くとき， $\dfrac{x^4-2x^3+2x^2-x+4}{x^2-x+1}$ の最小値は(　　)であり，そのときの $x$ の値は(　　)である．