相加相乗平均の不等式5

4の続きです。

1.((1) 東京都立大 (2) 釧路公立大 (3) 三重大)
(1) 正数x,yに対してx+y+\dfrac{1}{xy} \geqq 3が成り立つことを示せ.また,等号を成り立たせるx,~yを求めよ.
(2) 実数a,~bが,a>-1,~b>-2であるとき,次の式の最小値を求めよ.
2b+\dfrac{2}{a+1}+\dfrac{2a+2}{b+2}
(3) a,~bを正の実数とするとき,ab^2+\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b} \geqq 4を示せ.

2.(東海大)
(1) a,~bを正の定数とする.x>0の範囲で,\dfrac{x}{a}+\dfrac{b}{x}の最小値を求めよ.また,そのときのxの値を求めよ.
(2) x>0,~y>0,~z>0の範囲で,\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{1}{z}の最小値を求めよ.また,そのときのx,~y,~zの値を求めよ.

3.(名古屋大)
nを自然数とするとき,3つの数
a=\sqrt[5]{1+\dfrac{1}{n}}-1,~b=1-\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{n}},~c=\dfrac{1}{5n}

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