相加相乗平均の不等式５

2016年11月1日

４の続きです。

１．((1) 東京都立大　(2) 釧路公立大　(3) 三重大)
(1) 正数 $x,y$ に対して $x+y+\dfrac{1}{xy} \geqq 3$ が成り立つことを示せ．また，等号を成り立たせる $x,~y$ を求めよ．
(2) 実数 $a,~b$ が， $a>-1,~b>-2$ であるとき，次の式の最小値を求めよ．
$2b+\dfrac{2}{a+1}+\dfrac{2a+2}{b+2}$
(3) $a,~b$ を正の実数とするとき， $ab^2+\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b} \geqq 4$ を示せ．

２．(東海大)
(1) $a,~b$ を正の定数とする． $x>0$ の範囲で， $\dfrac{x}{a}+\dfrac{b}{x}$ の最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
(2) $x>0,~y>0,~z>0$ の範囲で， $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{1}{z}$ の最小値を求めよ．また，そのときの $x,~y,~z$ の値を求めよ．