調和平均

2017年3月5日

調和平均に関する問題です。

1.(学習院大)
正の数a,~b,~cに対して,次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) \dfrac{2ab}{a+b} \leqq \dfrac{a+b}{2}
(2) 2\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\right) \leqq a+b+c

2.(神戸大)
(1) 正の実数x,~yに対して\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y} \geqq 2が成り立つことを示し,等号が成立するための条件を求めよ.
(2) nを自然数とする.n個の正の実数a_1,~\cdots,~a_nに対して
(a_1+\cdots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right) \geqq n^2
が成り立つことを示し,等号が成り立つための条件を求めよ.

3.(九州大)
(1) 正の実数a,~b,~cに対して,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geqq \dfrac{9}{a+b+c}
(2) 正の実数x_i~(i=1,~2,~\cdots,~n)に対して,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}\dfrac{1}{x_i} \geqq \dfrac{n^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i}

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