コーシーシュワルツの不等式1

2017年3月5日

コーシーシュワルツの不等式の証明の問題です。

1.
実数a,~b,~c,~x,~y,~zに対して,次の不等式を証明せよ.また,等号が成立するのはどのような場合か.
(1) (ax+by)^2 \leqq (a^2+b^2)(x^2+y^2)
(2) (ax+by+cz)^2 \leqq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

次に、一般の場合です。

2.(大分大)
実数x_i,~y_i~(i=1,~2,~\cdots,~n)に対して次の不等式を証明せよ.ただし,nは自然数である.
{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_iy_i \leqq \sqrt{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{x_i}^2}\sqrt{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{y_i}^2}

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