コーシーシュワルツの不等式２

2016年11月1日

コーシーシュワルツの不等式を利用した不等式の証明の問題です。

１．(明治学院大)
次の不等式を証明せよ．ただし，文字はすべて実数を表す．
(1) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+c^2} \geqq |ax+by+cz|$
(2) $10(2a^2+3b^2+5c^2) \geqq (2a+3b+5c)^2$

２．(奈良教育大)
$a,~b,~c$ が実数のとき，次の2つの不等式が成り立つことを，(1)，(2)の順に証明せよ．
(1) $6(a^2+2b^2+3c^2) \geqq (a+2b+3c)^2$
(2) $6^3(a^4+2b^4+3c^4) \geqq (a+2b+3c)^4$

３．(大阪教育大)
(1) 実数 $x,~y$ が $x+y=1$ を満たすとき，不等式 $x^2+y^2 \geqq \dfrac{1}{2}$ が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2) 実数 $x,~y,~z$ が $x+y+z=1$ を満たすとき，不等式 $x^2+y^2+z^2 \geqq \dfrac{1}{3}$ が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2) 実数 $x_1,~x_2,~\cdots,~x_n$ が $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ を満たすとき，不等式 ${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2 \geqq \dfrac{1}{n}$ が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．