コーシーシュワルツの不等式2

コーシーシュワルツの不等式を利用した不等式の証明の問題です。

1.(明治学院大)
次の不等式を証明せよ.ただし,文字はすべて実数を表す.
(1) \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+c^2} \geqq |ax+by+cz|
(2) 10(2a^2+3b^2+5c^2) \geqq (2a+3b+5c)^2

2.(奈良教育大)
a,~b,~cが実数のとき,次の2つの不等式が成り立つことを,(1),(2)の順に証明せよ.
(1) 6(a^2+2b^2+3c^2) \geqq (a+2b+3c)^2
(2) 6^3(a^4+2b^4+3c^4) \geqq (a+2b+3c)^4

3.(大阪教育大)
(1) 実数x,~yx+y=1を満たすとき,不等式x^2+y^2 \geqq \dfrac{1}{2}が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.
(2) 実数x,~y,~zx+y+z=1を満たすとき,不等式x^2+y^2+z^2 \geqq \dfrac{1}{3}が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.
(2) 実数x_1,~x_2,~\cdots,~x_nx_1+x_2+\cdots+x_n=1を満たすとき,不等式{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2 \geqq \dfrac{1}{n}が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.

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