コーシーシュワルツの不等式３

2016年11月1日

コーシーシュワルツの不等式を利用した最大最小問題です。

１．((1) 早稲田大　(2) 学習院大　(3) 鳥取大)
(1) 実数 $x,~y,~z$ が $x+2y+3z=7$ を満たすとき， $x^2+y^2+z^2$ は $x=\dfrac{y}{(~~~~~)}=\dfrac{z}{(~~~~~)}$ のとき最小値(　　)をとる．
(2) 実数 $x,~y,~z$ が $x^2+y^2+z^2=1$ をみたすとき $x+2y+3z$ の最大値と最小値を求めよ．
(3) 正の実数 $a,~b,~c$ が $a+5b+7c=12$ を満たすとする． $\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}$ の最大値を求めよ．
(4) 正の実数 $a,~b,~c$ が $a+4b+9c=1$ を満たすとき， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ の最小値を求めよ．