コーシーシュワルツの不等式4

3の続きです。

1.
すべての正の実数x,~yに対して,次の不等式が成り立つようなkの最小値を求めよ.
(1) (x+y)^2 \leqq k(x^2+y^2)
(2) \sqrt{x}+\sqrt{y} \leqq k\sqrt{x+y}

2.(東京大)
すべての正の実数x,~yに対し\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqq k\sqrt{2x+y}が成り立つような実数kの最小値を求めよ.

3.(東京都立大)
(1) 不等式(a+b)^2 \leqq 2(a^2+b^2)を証明せよ.
(2) 2以上のすべての自然数nに対して,不等式(a+b)^n \leqq 2^{n-1}(a^n+b^n)を数学的帰納法を使って証明せよ.

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