並べかえの不等式

並べかえの不等式の証明の問題です。頻出の話題であり、知る限りでも東大、東北大、慶応大、同志社大…と出題があります。

1.(鳥取大)
2n個の実数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nおよびb_1,~b_2,~\cdots,~b_nが不等式
0<a_1<a_2<\cdots<a_n,~0<b_1<b_2<\cdots<b_n
を満たすとする.(i_1,~i_2,~\cdots,~i_n)(1,~2,~\cdots,~n)の順列とすれば,不等式
a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+\cdots+a_nb_{i_n} \leqq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n
が成立することを次の場合に証明せよ.
(1) n=2のとき
(2) n=3のとき
(3) nが一般のとき

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