チェビシェフの不等式

2017年3月5日

チェビシェフの和の不等式の問題です。

1.(津田塾大)
a_1,~a_2,~a_3,~b_1,~b_2,~b_3a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,~b_1 \leqq b_2 \leqq b_3であるような実数とする.このとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
(1) (a_1+a_2)(b_1+b_2) \leqq 2(a_1b_1+a_2b_2)
(2) (a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3) \leqq 3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)

次に重み付きチェビシェフの和の不等式。

2.(大阪教育大)
0 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,~0 \leqq b_1 \leqq b_2 \leqq b_3とする.
(1) t_1+t_2=1となるt_1,~t_2 \geqq 0に対して,不等式
(t_1a_1+t_2a_2)(t_1b_1+t_2b_2) \leqq t_1a_1b_1+t_2a_2b_2
を証明せよ.
(2) t_1+t_2+t_3=1となるt_1,~t_2,~t_3 \geqq 0に対して,不等式
(t_1a_1+t_2a_2+t_3a_3)(t_1b_1+t_2b_2+t_3b_3) \leqq t_1a_1b_1+t_2a_2b_2+t_3a_3b_3
を証明せよ.

次に一般の場合。

3.(東北大)
a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n,~b_1 \geqq b_2 \geqq \cdots \geqq b_nのとき,次の不等式を証明せよ.
\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}a_i\right)\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}b_i\right) \leqq n{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_ib_i

4.(京都大)
すべては0でないn個の実数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nがあり,a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_nかつa_1+a_2+\cdots+a_n=0を満たすとき,a_1+2a_2+\cdots+na_n>0が成り立つことを証明せよ.

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