チェビシェフの不等式

2016年11月1日2017年3月5日

チェビシェフの和の不等式の問題です。

１．(津田塾大)
$a_1,~a_2,~a_3,~b_1,~b_2,~b_3$ を $a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,~b_1 \leqq b_2 \leqq b_3$ であるような実数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1) $(a_1+a_2)(b_1+b_2) \leqq 2(a_1b_1+a_2b_2)$
(2) $(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3) \leqq 3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$

次に重み付きチェビシェフの和の不等式。

２．(大阪教育大)
$0 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,~0 \leqq b_1 \leqq b_2 \leqq b_3$ とする．
(1) $t_1+t_2=1$ となる $t_1,~t_2 \geqq 0$ に対して，不等式
$(t_1a_1+t_2a_2)(t_1b_1+t_2b_2) \leqq t_1a_1b_1+t_2a_2b_2$
を証明せよ．
(2) $t_1+t_2+t_3=1$ となる $t_1,~t_2,~t_3 \geqq 0$ に対して，不等式
$(t_1a_1+t_2a_2+t_3a_3)(t_1b_1+t_2b_2+t_3b_3) \leqq t_1a_1b_1+t_2a_2b_2+t_3a_3b_3$
を証明せよ．

次に一般の場合。

３．(東北大)
$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n,~b_1 \geqq b_2 \geqq \cdots \geqq b_n$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}a_i\right)\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}b_i\right) \leqq n{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_ib_i$

４．(京都大)
すべては0でない $n$ 個の実数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ があり， $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n$ かつ $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ を満たすとき， $a_1+2a_2+\cdots+na_n>0$ が成り立つことを証明せよ．