イエンゼンの不等式

イエンゼンの不等式の問題です。

1.(早稲田大)
(1) p>0,~q>0,~p+q=1のとき,関数f(x)=x^2について次の不等式が成り立つことを示せ.
f(px_1+qx_2) \leqq pf(x_1)+qf(x_2)
(2) a>0,~b>0,~a+b=1のとき,(1)を用いて次の不等式が成り立つことを示せ.
\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2 \geqq \dfrac{25}{2}

2.(龍谷大)
関数f(x)f(x)=x^3とする.a,~bが正の実数であれば,次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leqq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}
(2) f\left(\dfrac{2a+b}{3}\right) \leqq \dfrac{2f(a)+f(b)}{3}

3.(明治大)
文字x,~y,~p,~qは0または正の実数で,p+q=1とするとき,
(1) \sqrt{px+qy} \geqq p\sqrt{x}+q\sqrt{y}を示せ.
(2) nが自然数のとき,
(px+qy)^n \leqq px^n+qy^n
を示せ.

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