イエンゼンの不等式

2016年11月1日

イエンゼンの不等式の問題です。

１．(早稲田大)
(1) $p>0,~q>0,~p+q=1$ のとき，関数 $f(x)=x^2$ について次の不等式が成り立つことを示せ．
$f(px_1+qx_2) \leqq pf(x_1)+qf(x_2)$
(2) $a>0,~b>0,~a+b=1$ のとき，(1)を用いて次の不等式が成り立つことを示せ．
$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2 \geqq \dfrac{25}{2}$

２．(龍谷大)
関数 $f(x)$ を $f(x)=x^3$ とする． $a,~b$ が正の実数であれば，次の不等式が成り立つことを示せ．
(1) $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leqq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$
(2) $f\left(\dfrac{2a+b}{3}\right) \leqq \dfrac{2f(a)+f(b)}{3}$

３．(明治大)
文字 $x,~y,~p,~q$ は0または正の実数で， $p+q=1$ とするとき，
(1) $\sqrt{px+qy} \geqq p\sqrt{x}+q\sqrt{y}$ を示せ．
(2) $n$ が自然数のとき，
$(px+qy)^n \leqq px^n+qy^n$
を示せ．