三角不等式1

三角不等式の証明の問題です。

1.(麻布大)
a,~b,~cを実数とするとき,次の不等式を証明せよ.
(1) |a+b| \leqq |a|+|b|
(2) |a-b| \leqq |a|+|b|
(3) |a-b| \leqq |a-c|+|b-c|

2.
(1) 不等式||x|-|y|| \leqq |x+y| \leqq |x|+|y|を証明せよ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.
(2) 不等式||x|-|y|| \leqq |x-y| \leqq |x|+|y|を証明せよ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.
(3) 不等式|x+y+x| \leqq |x|+|y|+|z|を証明せよ.

3.(大阪教育大)
実数x,~yについて以下の不等式(1), (2), (3)を証明せよ.
(1) |x+y| \leqq |x|+|y|
(2) |x| \leqq \dfrac{x^2+4}{4}
(3) \left|\dfrac{1}{x^2+4}+\dfrac{1}{y^2+4}\right| \leqq \dfrac{1}{8}|x-y|

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