三角不等式2

三角不等式を利用する不等式の証明の問題です。

1.(青山学院大)
次の不等式を証明せよ.ただし,文字はすべて実数とする.
(1) 0 \leqq p \leqq qのとき,\dfrac{p}{1+p} \leqq \dfrac{q}{1+q}
(2) \dfrac{|p+q|}{1+|p+q|} \leqq \dfrac{|p|}{1+|p|}+\dfrac{|q|}{1+|q|}

2.(九州大)
(1) x \geqq y \geqq 0のとき,不等式\dfrac{x}{1+x} \geqq \dfrac{y}{1+y}が成り立つことを示せ.
(2) ① 不等式\dfrac{|x|}{1+|x|}+\dfrac{|y|}{1+|y|}+\dfrac{|z|}{1+|z|} \geqq \dfrac{|x+y+z|}{1+|x+y+z|}が成り立つことを示せ.
② ①の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ.

3.(鹿児島大)
(1) 2個の負でない実数a,~bに対して,\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b} \geqq \dfrac{a+b}{1+a+b}が成り立つことを示せ.
(2) 負でない実数a,~b,~cについて,a+b \geqq cならば
\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b} \geqq \dfrac{c}{1+c}
が成り立つことを示せ.
(3) nを2以上の整数とする.n個の負でない実数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nと負でない実数cについて,a_1+a_2+\cdots+a_n \geqq cならば
\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{1+a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1+a_n} \geqq \dfrac{c}{1+c}
が成り立つことを示せ.

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