三角不等式２

2016年11月1日

三角不等式を利用する不等式の証明の問題です。

１．(青山学院大)
次の不等式を証明せよ．ただし，文字はすべて実数とする．
(1) $0 \leqq p \leqq q$ のとき， $\dfrac{p}{1+p} \leqq \dfrac{q}{1+q}$
(2) $\dfrac{|p+q|}{1+|p+q|} \leqq \dfrac{|p|}{1+|p|}+\dfrac{|q|}{1+|q|}$

２．(九州大)
(1) $x \geqq y \geqq 0$ のとき，不等式 $\dfrac{x}{1+x} \geqq \dfrac{y}{1+y}$ が成り立つことを示せ．
(2) ① 不等式 $\dfrac{|x|}{1+|x|}+\dfrac{|y|}{1+|y|}+\dfrac{|z|}{1+|z|} \geqq \dfrac{|x+y+z|}{1+|x+y+z|}$ が成り立つことを示せ．
② ①の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ．

３．(鹿児島大)
(1) 2個の負でない実数 $a,~b$ に対して， $\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b} \geqq \dfrac{a+b}{1+a+b}$ が成り立つことを示せ．
(2) 負でない実数 $a,~b,~c$ について， $a+b \geqq c$ ならば
$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b} \geqq \dfrac{c}{1+c}$
が成り立つことを示せ．
(3) $n$ を2以上の整数とする． $n$ 個の負でない実数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ と負でない実数 $c$ について， $a_1+a_2+\cdots+a_n \geqq c$ ならば
$\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{1+a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1+a_n} \geqq \dfrac{c}{1+c}$
が成り立つことを示せ．