逆命題

2016年11月5日

次は、逆命題の問題です。

1.(津田塾大)
xyは実数とする.このとき,(1),(2)の命題は正しいか.それぞれについて,正しい場合は証明し,正しくない場合は反例を示せ.
(1) 「x>1かつy>1」ならば「xy+x>2かつxy+y>2
(2) 「xy+x>2かつxy+y>2」ならば「x>1かつy>1

2.(昭和薬科大)
次の命題について以下の(ア),(イ)に答えよ.ただし,x,~yは実数,m,~nは整数とする.
(A) |x|<1ならば,x^2<1である.
(B) mが4の倍数ならば,mは2の倍数である.
(C) x>yならば,x^2>y^2である.
(D) mnが6の倍数ならば,mまたはnは6の倍数である.
(ア) 命題が真であるものは(  )である.
(イ) 命題の逆が偽であるものは(  )である.

3.(群馬大)
a,~b,~cは実数とする.命題Pを「正の実数x,~yに対してy>ax^2+bx+cが常に成り立つならば,a,~b,~cはすべて0以下である」とするとき,
(1) Pの真偽を判定し,その理由を述べよ.
(2) Pの逆の真偽を判定し,その理由を述べよ.

4.(奈良県立医大)
自然数mに対し,mの約数全体からなる集合をD(m)とかく.例えば,D(6)=\{1,~2,~3,~6\}である.自然数m,~nに関して,次のことを証明せよ.
(1) D(m) \cap D(n) \subset D(m+n)
(2) D(m) \cup D(n) \subset D(mn)
(3) m \in D(n)ならばD(m) \subset D(n)であり,逆もまた成立する.

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