逆命題

2016年11月2日2016年11月5日

次は、逆命題の問題です。

１．(津田塾大)
$x$ と $y$ は実数とする．このとき，(1)，(2)の命題は正しいか．それぞれについて，正しい場合は証明し，正しくない場合は反例を示せ．
(1) 「 $x>1$ かつ $y>1$ 」ならば「 $xy+x>2$ かつ $xy+y>2$ 」
(2) 「 $xy+x>2$ かつ $xy+y>2$ 」ならば「 $x>1$ かつ $y>1$ 」

２．(昭和薬科大)
次の命題について以下の(ア)，(イ)に答えよ．ただし， $x,~y$ は実数， $m,~n$ は整数とする．
(A) $|x|<1$ ならば， $x^2<1$ である．
(B) $m$ が4の倍数ならば， $m$ は2の倍数である．
(C) $x>y$ ならば， $x^2>y^2$ である．
(D) $mn$ が6の倍数ならば， $m$ または $n$ は6の倍数である．
(ア) 命題が真であるものは(　　)である．
(イ) 命題の逆が偽であるものは(　　)である．

３．(群馬大)
$a,~b,~c$ は実数とする．命題Pを「正の実数 $x,~y$ に対して $y>ax^2+bx+c$ が常に成り立つならば， $a,~b,~c$ はすべて0以下である」とするとき，
(1) Pの真偽を判定し，その理由を述べよ．
(2) Pの逆の真偽を判定し，その理由を述べよ．

４．(奈良県立医大)
自然数 $m$ に対し， $m$ の約数全体からなる集合を $D(m)$ とかく．例えば， $D(6)=\{1,~2,~3,~6\}$ である．自然数 $m,~n$ に関して，次のことを証明せよ．
(1) $D(m) \cap D(n) \subset D(m+n)$
(2) $D(m) \cup D(n) \subset D(mn)$
(3) $m \in D(n)$ ならば $D(m) \subset D(n)$ であり，逆もまた成立する．

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