関数の極限

2016年11月30日2017年3月31日

関数の極限の問題です。まずは数学Ⅱの復習から。

１．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 2}}(x^2-x+2)(3x-1)$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{x^2-x}{x^2+x-2}$

→解答

２．
極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{32^x-1}{8^x-1}$ を求めよ．

→解答

３．(工学院大)
$f(x)=\dfrac{x^3+ax^2+bx-2}{x^2-3x+2}$ とする． ${\displaystyle\lim_{x \to 1}}f(x),~{\displaystyle\lim_{x \to 2}}f(x)$ がともに有限の値であるとき， $a,~b$ を求めよ．

→解答

４．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{x}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$

→解答

５．((2) 関西大)
(1) $f(x)=\dfrac{\sqrt{a+x}-2}{x}$ が $x \to 0$ のとき収束するように，定数 $a$ の値を定めよ．また，そのときの ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}f(x)$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}=1$ が成立するとき， $a,~b$ の値を求めよ．

→解答

次に右側極限、左側極限、また極限値の存在について。

６．
次の極限を調べよ．極限が存在する場合には，その極限を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1}{x}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1}{x^2}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}|x|$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{|x|}{x}$

→解答

７．
次の極限を調べよ．極限が存在する場合には，その極限を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 3}}\dfrac{x^2-3x}{|x-3|}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \sqrt{2}+0}}\dfrac{x^2-2}{|x^2-3\sqrt{2}x+4|}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 1-0}}([2x]-2[x])$

→解答

次に $x \to \infty$ 、 $x \to -\infty$ の極限。

８．
次の極限を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{2x^2-3x+4}{3x^2+5}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+1}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\dfrac{x^2-5}{x+1}$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(x^3+2x^2-1)$

→解答

９．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to +\infty}}(\sqrt{x^2+x}-x)$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(\sqrt{x^2+1}+x)$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$

→解答

１０．((2) 京都産業大)
(1) $x \to \infty$ のとき， $f(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$ が収束するような，定数 $a$ の値を求めよ．また，そのときの ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f(x)$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}(\sqrt{x^2+ax}-bx)=2$ のとき， $(a,b)=(~~~~~)$ である．