関数の極限

2017年3月31日

関数の極限の問題です。まずは数学Ⅱの復習から。

1.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 2}}(x^2-x+2)(3x-1)
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{x^2-x}{x^2+x-2}

解答

2.
極限値{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{32^x-1}{8^x-1}を求めよ.

解答

3.(工学院大)
f(x)=\dfrac{x^3+ax^2+bx-2}{x^2-3x+2}とする.{\displaystyle\lim_{x \to 1}}f(x),~{\displaystyle\lim_{x \to 2}}f(x)がともに有限の値であるとき,a,~bを求めよ.

解答

4.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{x}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}
(4) {\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}

解答

5.((2) 関西大)
(1) f(x)=\dfrac{\sqrt{a+x}-2}{x}x \to 0のとき収束するように,定数aの値を定めよ.また,そのときの{\displaystyle\lim_{x \to 0}}f(x)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}=1が成立するとき,a,~bの値を求めよ.

解答

次に右側極限、左側極限、また極限値の存在について。

6.
次の極限を調べよ.極限が存在する場合には,その極限を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1}{x}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1}{x^2}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}|x|
(4) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{|x|}{x}

解答

7.
次の極限を調べよ.極限が存在する場合には,その極限を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 3}}\dfrac{x^2-3x}{|x-3|}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \sqrt{2}+0}}\dfrac{x^2-2}{|x^2-3\sqrt{2}x+4|}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 1-0}}([2x]-2[x])

解答

次にx \to \inftyx \to -\inftyの極限。

8.
次の極限を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{2x^2-3x+4}{3x^2+5}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+1}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\dfrac{x^2-5}{x+1}
(4) {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(x^3+2x^2-1)

解答

9.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to +\infty}}(\sqrt{x^2+x}-x)
(2) {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(\sqrt{x^2+1}+x)
(3) {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})

解答

10.((2) 京都産業大)
(1) x \to \inftyのとき,f(x)=\sqrt{x^2+1}-axが収束するような,定数aの値を求めよ.また,そのときの{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f(x)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}(\sqrt{x^2+ax}-bx)=2のとき,(a,b)=(~~~~~)である.

解答

最後に、はさみうちの原理を利用する問題。

11.
極限値{\displaystyle\lim_{x \to +\infty}}\dfrac{\cos x}{x}を求めよ.

解答

12.
極限値{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{[x]}{x}を求めよ.

解答

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