微分の定義と計算

2017年3月31日

微分の定義と計算問題です。必ずマスターしておいて欲しいものです。まずは、微分係数、導関数の定義から。

1.
次の関数を定義にしたがって微分せよ.
(1) y=\dfrac{1}{x}
(2) y=\sqrt{x}

解答

2.(東京理科大)
f(x)およびg(x)x=aで微分可能な関数とする.このとき,極限値{\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}f(a),~g(a)および微分係数f'(a),~g'(a)を用いて表せ.

解答

次に積の微分法。

3.
関数y=(x^2-1)(2x+3)を微分せよ.

解答

4.
xの関数u,~v,~wについて,次の等式を示せ.
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

解答

次に商の微分法。

5.
次の関数を微分せよ.
(1) y=\dfrac{x^2}{x-1}
(2) y=\dfrac{x}{1+x^2}

解答

6.
Ⅰ.nが整数のとき,(x^n)'=nx^{n-1}が成り立つことを示せ.
Ⅱ.次の関数を微分せよ.
(1) y=\dfrac{1}{x}
(2) y=\dfrac{1}{x^2}
(3) y=\dfrac{1}{x^3}
(4) y=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}

解答

次に合成関数の微分法。

7.
次の関数を微分せよ.
(1) y=(x^3+1)^2
(2) y=\dfrac{1}{(2x+1)^2}

解答

次に逆関数の微分法。

8.
(1) 関数y=\sqrt{x}の導関数を,逆関数の微分法を用いて求めよ.
(2) x=y\sqrt{1+y}のとき,\dfrac{dy}{dx}yで表せ.

解答

9.((2) 関西大)
(1) nを正の整数とするとき,y=x^{\frac{1}{n}}の導関数を,逆関数の微分法を用いて求めよ.
(2) x=y^2+2y+1~(y<-1)について\dfrac{dy}{dx}xで表せ.

解答

10.
Ⅰ.rが有理数のとき,(x^r)'=rx^{r-1}が成り立つことを示せ.
Ⅱ.次の関数を微分せよ.
(1) y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}
(2) y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}
(3) y=\dfrac{x^2-x+4}{\sqrt{x}}
(4) y=\sqrt{2x-3}
(5) y=\sqrt{x^2+1}
(6) y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}
(7) y=(x+3)\sqrt{2-x}
(8) y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

解答

最後に陰関数の微分法。

11.
xyの関係が次のように与えられているとき,\dfrac{dy}{dx}を求めよ.
(1) x^2+y^2=1
(2) \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1
(3) y^2-2x^2=1
(4) y^2=4x
(5) x^2+xy+2y^2=1

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ