三角関数の微分

2017年3月31日

三角関数の極限と微分の問題です。まずは三角関数の極限の公式から。

1.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{x}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\tan x}{x}
(4) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}
(5) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}
(6) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{x\sin x}{1-\cos x}
(7) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 7x+\sin 5x}{\sin 2x}
(8) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin\left(\sin\dfrac{x}{\pi}\right)}{x}

解答

2.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{x+1}-1}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\sqrt{x+3}\sin(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})

解答

3.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \pi}}\dfrac{\sin x}{x-\pi}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\sin\dfrac{1}{x}

解答

4.((1) 愛媛大 (2) 小樽商科大 (3) 大阪市立大)
(1) p,~qを実数とする.{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{p+q\cos x}{x^2}=1のとき,p,~qの値を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{px+q}-1}=2のとき,p,~qの値を求めよ.
(3) 次の極限が有限の値となるように定数a,~bを定め,そのときの極限値を求めよ.
{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx)}{x^2}

解答

5.((1) 芝浦工業大 (2) お茶の水女子大)
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}}\dfrac{ax+b}{\cos x}=\dfrac{1}{2}が成り立つとき,定数a,~bの値を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \pi}}\dfrac{\sqrt{a+\cos x}-b}{(x-\pi)^2}=\dfrac{1}{4}となるように定数a,~bを定めよ.

解答

次に図形への応用問題をいくつか。

6.(日本女子大)
図のような半球形の凹面鏡がある.直径をAB,中心をO,半径をrとする.ABと\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\right)の角をなす光線が鏡の点Qで反射しABと交わる点をPとする.\theta \to 0とするとき,Pはどのような点に近づくか.ただし,Qにおいて光線は\angleAQO=\angleOQPとなるように反射するものとする.

解答

7.(立教大)
右の図において,AB=3, BC=4, AD=7で,\angleBACの大きさ\thetaが変化するにしたがって点CはAD上を動く.{\displaystyle\lim_{\theta \to 0}}\dfrac{\mbox{CD}}{\theta^2}を求めよ.

解答

8.(津田塾大)
面積1の正n角形(n \geqq 3)の周の長さをL(n)とする.
(1) L(n)nの式で表せ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}L(n)を求めよ.

解答

9.(東京工業大)
斜辺の長さが1である正n角錐を考える.つまり,底面を正n角形\mbox{A}_1\mbox{A}_2\cdots\mbox{A}_n,頂点をOで表せば\mbox{OA}_1=\mbox{OA}_2=\cdots=\mbox{OA}_n=1である.そのような正n角錐のなかで最大の体積をもつものをC_nとする.
(1) C_nの体積V_nを求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}V_nを求めよ.

解答

10.(東京大)
n \geqq 3とし,正n角錐の表面を,底面に含まれないn個の辺で切り開いて得られる展開図を考える.正n角錐の頂点は,展開図においては,異なるn個の点になっている.ここでは,これらn個の点を通る円の半径が1であるような正n角錐のみを考えることにする.
(1) 各nに対して,このような正n角錐の体積の最大値v_nを求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}v_nを求めよ.

解答

次に三角関数の微分の定義と計算問題。

11.
{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x}{x}=1を既知として,次の(1)~(3)を証明せよ.ただし,角の単位はラジアンとする.
(1) (\sin x)'=\cos x
(2) (\cos x)'=-\sin x
(3) (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}

解答

12.((2) 立教大)
次の極限値を計算せよ.
(1) {\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{\sin(x+h)^2-\sin x^2}{h}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{a^2\sin^2 x-x^2\sin^2 a}{x-a}

解答

13.((1) 東京電機大 (2) 日本大 (3) 鹿児島大)
(1) 関数f(x)が微分可能であるとき,極限値{\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(x+2h)-f(x)}{\sin h}f'(x)を用いて表せ.
(2) f'(0)=1のとき{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(0+\sin x)-f(0)}{x}=(~~~~~)であり,
{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(\sin 8x)-f(\tan x)}{x}=(~~~~~)となる.
(3) f(x)x=1で微分可能とする.微分係数の定義にもとづいて
{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(2-\cos x)-f(1)}{x^2}
f'(1)で表せ.

解答

14.
Ⅰ.次の関数を微分せよ.
(1) y=\sin(2x-3)
(2) y=\cos^2 x
(3) y=\sin^2 3x
(4) y=\dfrac{1}{\tan x}
(5) y=\sqrt{\cos x}
(6) y=x\sin x+\cos x
(7) y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}
Ⅱ.x=\tan y~\left(-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}\right)のとき,\dfrac{dy}{dx}xの式で表せ.

解答

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