三角関数の微分

2016年11月30日2017年3月31日

三角関数の極限と微分の問題です。まずは三角関数の極限の公式から。

１．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{x}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\tan x}{x}$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$
(5) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$
(6) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{x\sin x}{1-\cos x}$
(7) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 7x+\sin 5x}{\sin 2x}$
(8) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin\left(\sin\dfrac{x}{\pi}\right)}{x}$

→解答

２．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{x+1}-1}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\sqrt{x+3}\sin(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})$

→解答

３．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \pi}}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\sin\dfrac{1}{x}$

→解答

４．((1) 愛媛大　(2) 小樽商科大　(3) 大阪市立大)
(1) $p,~q$ を実数とする． ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{p+q\cos x}{x^2}=1$ のとき， $p,~q$ の値を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{px+q}-1}=2$ のとき， $p,~q$ の値を求めよ．
(3) 次の極限が有限の値となるように定数 $a,~b$ を定め，そのときの極限値を求めよ．
${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx)}{x^2}$

→解答

５．((1) 芝浦工業大　(2) お茶の水女子大)
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}}\dfrac{ax+b}{\cos x}=\dfrac{1}{2}$ が成り立つとき，定数 $a,~b$ の値を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \pi}}\dfrac{\sqrt{a+\cos x}-b}{(x-\pi)^2}=\dfrac{1}{4}$ となるように定数 $a,~b$ を定めよ．

→解答

次に図形への応用問題をいくつか。

６．(日本女子大)
図のような半球形の凹面鏡がある．直径をAB，中心をO，半径を $r$ とする．ABと $\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\right)$ の角をなす光線が鏡の点Qで反射しABと交わる点をPとする． $\theta \to 0$ とするとき，Pはどのような点に近づくか．ただし，Qにおいて光線は $\angle$ AQO= $\angle$ OQPとなるように反射するものとする．

→解答

７．(立教大)
右の図において，AB=3, BC=4, AD=7で， $\angle$ BACの大きさ $\theta$ が変化するにしたがって点CはAD上を動く． ${\displaystyle\lim_{\theta \to 0}}\dfrac{\mbox{CD}}{\theta^2}$ を求めよ．

→解答

８．(津田塾大)
面積1の正 $n$ 角形 $(n \geqq 3)$ の周の長さを $L(n)$ とする．
(1) $L(n)$ を $n$ の式で表せ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}L(n)$ を求めよ．

→解答

９．(東京工業大)
斜辺の長さが1である正 $n$ 角錐を考える．つまり，底面を正 $n$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\cdots\mbox{A}_n$ ，頂点をOで表せば $\mbox{OA}_1=\mbox{OA}_2=\cdots=\mbox{OA}_n=1$ である．そのような正 $n$ 角錐のなかで最大の体積をもつものを $C_n$ とする．
(1) $C_n$ の体積 $V_n$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}V_n$ を求めよ．

→解答

１０．(東京大)
$n \geqq 3$ とし，正 $n$ 角錐の表面を，底面に含まれない $n$ 個の辺で切り開いて得られる展開図を考える．正 $n$ 角錐の頂点は，展開図においては，異なる $n$ 個の点になっている．ここでは，これら $n$ 個の点を通る円の半径が1であるような正 $n$ 角錐のみを考えることにする．
(1) 各 $n$ に対して，このような正 $n$ 角錐の体積の最大値 $v_n$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}v_n$ を求めよ．

→解答

次に三角関数の微分の定義と計算問題。

１１．
${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x}{x}=1$ を既知として，次の(1)～(3)を証明せよ．ただし，角の単位はラジアンとする．
(1) $(\sin x)'=\cos x$
(2) $(\cos x)'=-\sin x$
(3) $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

→解答

１２．((2) 立教大)
次の極限値を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{\sin(x+h)^2-\sin x^2}{h}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{a^2\sin^2 x-x^2\sin^2 a}{x-a}$

→解答

１３．((1) 東京電機大　(2) 日本大　(3) 鹿児島大)
(1) 関数 $f(x)$ が微分可能であるとき，極限値 ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(x+2h)-f(x)}{\sin h}$ を $f'(x)$ を用いて表せ．
(2) $f'(0)=1$ のとき ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(0+\sin x)-f(0)}{x}=(~~~~~)$ であり，
${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(\sin 8x)-f(\tan x)}{x}=(~~~~~)$ となる．
(3) $f(x)$ は $x=1$ で微分可能とする．微分係数の定義にもとづいて
${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(2-\cos x)-f(1)}{x^2}$
を $f'(1)$ で表せ．

→解答

１４．
Ⅰ．次の関数を微分せよ．
(1) $y=\sin(2x-3)$
(2) $y=\cos^2 x$
(3) $y=\sin^2 3x$
(4) $y=\dfrac{1}{\tan x}$
(5) $y=\sqrt{\cos x}$
(6) $y=x\sin x+\cos x$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
Ⅱ． $x=\tan y~\left(-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}\right)$ のとき， $\dfrac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表せ．