指数・対数関数の微分

2016年11月30日2017年3月31日

指数・対数関数の微分です。まずは指数、対数の極限の公式から。

１．(東京都市大)
関数 $f(x)=\dfrac{a \cdot 2^x+b \cdot 2^{-x}}{(a+1) \cdot 2^x+(b+1) \cdot 2^{-x}}$ について， ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f(x)=\dfrac{1}{3}, {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}f(x)=\dfrac{1}{4}$ が成り立つとき，定数 $a,~b$ の値を求めよ．

→解答

２．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$ を示せ．
(2) (1)を利用して，次の極限値を求めよ．
(ⅰ) ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}$
(ⅱ) ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{\log (1+h)}{h}$
(ⅲ) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^x-1}{x}$

→解答

３．
${\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$ を示せ．

→解答

４．((2) 東京理科大)
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^x$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^x$
(3) ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1-2h)^{\frac{1}{h}}$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\{\log(x+1)-\log{x}\}$
(5) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\log(1+2x)}{x}$

→解答

次に指数・対数関数の微分の定義と計算問題です。

５．
$h$ を実数として ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{a^h-1}{h}~(a>0,~a \ne 1)$ なる極限値の存在が証明される．ここで， $a$ を1に近くとると，この極限値は0に近く， $a$ を非常に大きくとると，この極限値も大きい．よってこの極限値がちょうど1になるように底 $a$ を選ぶことができる．このようにして選ばれた $a$ をあらためて $e$ と書き，自然対数の底という．以上のことを既知として，次の(1), (2)を証明せよ．
(1) $(e^x)'=e^x$
(2) $(\log x)'=\dfrac{1}{x}$

→解答

６．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^x-e^{-x}}{x}$
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{3^x-1}{x}$
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^{x^2}-1}{1-\cos x}$
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{\log x}{x-1}$
(5) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\sin\{\log(x+1)-\log x\}$

→解答

７．(武蔵工業大)
連続関数 $f(x)$ が $x=a~(a \ne 0)$ で微分可能であるとき，極限値
${\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{ae^{f(x)}-xe^{f(a)}}{x^2-a^2}$ を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底を表す．

→解答

８．
次の関数を微分せよ．
(1) $y=e^x-e^{-x}$
(2) $y=e^{x^2+x+1}$
(3) $y=e^{\sin x}$
(4) $y=2^x$
(5) $y=3^{2x}$
(6) $y=x^2e^x$
(7) $y=e^x\cos x$
(8) $y=\dfrac{e^x}{e^x+1}$

→解答

９．
次の関数を微分せよ．
(1) $y=\log 2x$
(2) $y=\log|\cos x|$
(3) $y=(\log x)^2$
(4) $y=\log_3 x$
(5) $y=\log_4 2x$
(6) $y=\log_2 |3x-1|$
(7) $y=x^2\log x-x$
(8) $y=\dfrac{\log x}{x^2}$

→解答

最後に対数微分法の問題です。

１０．
Ⅰ．次の関数の導関数を求めよ．ただし， $x>0$ とする．
(1) $y=x^x$
(2) $y=(\sqrt{x})^x$
(3) $y=x^{\sin x}$
Ⅱ． $\alpha$ が実数のとき， $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$ が成り立つことを示せ．