指数・対数関数の微分

2017年3月31日

指数・対数関数の微分です。まずは指数、対数の極限の公式から。

1.(東京都市大)
関数f(x)=\dfrac{a \cdot 2^x+b \cdot 2^{-x}}{(a+1) \cdot 2^x+(b+1) \cdot 2^{-x}}について,{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f(x)=\dfrac{1}{3}, {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}f(x)=\dfrac{1}{4}が成り立つとき,定数a,~bの値を求めよ.

解答

2.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=eを示せ.
(2) (1)を利用して,次の極限値を求めよ.
(ⅰ) {\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}
(ⅱ) {\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{\log (1+h)}{h}
(ⅲ) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^x-1}{x}

解答

3.
{\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=eを示せ.

解答

4.((2) 東京理科大)
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^x
(2) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^x
(3) {\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1-2h)^{\frac{1}{h}}
(4) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\{\log(x+1)-\log{x}\}
(5) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\log(1+2x)}{x}

解答

次に指数・対数関数の微分の定義と計算問題です。

5.
hを実数として{\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{a^h-1}{h}~(a>0,~a \ne 1)なる極限値の存在が証明される.ここで,aを1に近くとると,この極限値は0に近く,aを非常に大きくとると,この極限値も大きい.よってこの極限値がちょうど1になるように底aを選ぶことができる.このようにして選ばれたaをあらためてeと書き,自然対数の底という.以上のことを既知として,次の(1), (2)を証明せよ.
(1) (e^x)'=e^x
(2) (\log x)'=\dfrac{1}{x}

解答

6.
次の極限値を求めよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^x-e^{-x}}{x}
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{3^x-1}{x}
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{e^{x^2}-1}{1-\cos x}
(4) {\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{\log x}{x-1}
(5) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x\sin\{\log(x+1)-\log x\}

解答

7.(武蔵工業大)
連続関数f(x)x=a~(a \ne 0)で微分可能であるとき,極限値
{\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{ae^{f(x)}-xe^{f(a)}}{x^2-a^2}を求めよ.ただし,eは自然対数の底を表す.

解答

8.
次の関数を微分せよ.
(1) y=e^x-e^{-x}
(2) y=e^{x^2+x+1}
(3) y=e^{\sin x}
(4) y=2^x
(5) y=3^{2x}
(6) y=x^2e^x
(7) y=e^x\cos x
(8) y=\dfrac{e^x}{e^x+1}

解答

9.
次の関数を微分せよ.
(1) y=\log 2x
(2) y=\log|\cos x|
(3) y=(\log x)^2
(4) y=\log_3 x
(5) y=\log_4 2x
(6) y=\log_2 |3x-1|
(7) y=x^2\log x-x
(8) y=\dfrac{\log x}{x^2}

解答

最後に対数微分法の問題です。

10.
Ⅰ.次の関数の導関数を求めよ.ただし,x>0とする.
(1) y=x^x
(2) y=(\sqrt{x})^x
(3) y=x^{\sin x}
Ⅱ.\alphaが実数のとき,(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}が成り立つことを示せ.

解答

11.
次の関数を微分せよ.
(1) y=\dfrac{x^2(x-1)}{(x-2)^3}
(2) y=(x-1)^2\sqrt[3]{x+2}

解答

12.
次の関数を微分せよ.
(1) y=\dfrac{(x+4)^2}{(2x-1)^3(3x+2)^4}
(2) y=\dfrac{\sqrt{2x+1}(x+5)}{(x-3)^2}

解答

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