高次導関数

2016年11月30日2017年3月31日

まずは媒介変数表示された関数の微分から。

１．
(1) $x=t-1,~y=t^2-4t+3$ のとき， $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ．
(2) $x=\cos t,~y=\sin t$ のとき， $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ．
(3) $x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},~y=\dfrac{2t}{1+t^2}$ のとき， $\dfrac{dy}{dx}$ を $x,~y$ で表せ．

→解答

次に高次導関数の問題をいくつか。

２．((1) 北見工業大　(2) 同志社大　(3) 信州大)
(1) $y=e^x\sin x$ とすると， $y''=(~~~~~)$ である．
(2) $f(x)=e^{x^2}$ の第2次導関数は $f''(x)=(~~~~~)e^{x^2}$ であり，第4次導関数は $f^{(4)}(x)=(~~~~~)e^{x^2}$ である．
(3) $\tan y=x$ が与えられたとき， $y=\dfrac{\pi}{4}$ での $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ の値を求めよ．

→解答

３．((2) 法政大)
(1) $y=e^x\cos x$ のとき， $y''-2y'+2y$ を求めよ．
(2) $y=e^{-x}\sin x$ のとき， $y''+(~~~~~)y'+(~~~~~)y=0$ である．

→解答

４．(東京理科大)
媒介変数表示 $x=1-\cos\theta,~y=\theta-\sin\theta$ によって定められる $x$ と $y$ について， $\dfrac{dy}{dx},~\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $\theta$ で表せ．

→解答

５．
次の関数の第 $n$ 次導関数を求めよ．
(1) $y=e^x+e^{-x}$
(2) $y=\sin x$
(3) $y=xe^x$
(4) $y=\log x$

→解答

最後にライプニッツの公式の問題です。

６．(横浜市立大)
(1) 関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることの定義を書け．
(2) $x=a$ で微分可能である関数 $f(x),~g(x)$ に対して $h(x)=f(x)g(x)$ とおくとき， $h'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ が成り立つことを，(1)の定義を使って証明せよ．
(3) 何回でも微分可能である関数 $f(x),~g(x)$ に対して $h(x)=f(x)g(x)$ とおくとき
$h^{(n)}(a)={\displaystyle\sum_{k=0}^{n}} {_n}\mbox{C}_kf^{(n-k)}(a)g^{(k)}(a)~(n=1,~2,~\cdots)$
が成り立つことを証明せよ．ただし， $f^{(n)}(a)$ は関数 $f(x)$ の $n$ 次導関数の $x=a$ での値で， $f^{(0)}(a)=f(a)$ とする．