高次導関数

2017年3月31日

まずは媒介変数表示された関数の微分から。

1.
(1) x=t-1,~y=t^2-4t+3のとき,\dfrac{dy}{dx}tで表せ.
(2) x=\cos t,~y=\sin tのとき,\dfrac{dy}{dx}tで表せ.
(3) x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},~y=\dfrac{2t}{1+t^2}のとき,\dfrac{dy}{dx}x,~yで表せ.

解答

次に高次導関数の問題をいくつか。

2.((1) 北見工業大 (2) 同志社大 (3) 信州大)
(1) y=e^x\sin xとすると,y''=(~~~~~)である.
(2) f(x)=e^{x^2}の第2次導関数はf''(x)=(~~~~~)e^{x^2}であり,第4次導関数はf^{(4)}(x)=(~~~~~)e^{x^2}である.
(3) \tan y=xが与えられたとき,y=\dfrac{\pi}{4}での\dfrac{d^2y}{dx^2}の値を求めよ.

解答

3.((2) 法政大)
(1) y=e^x\cos xのとき,y''-2y'+2yを求めよ.
(2) y=e^{-x}\sin xのとき,y''+(~~~~~)y'+(~~~~~)y=0である.

解答

4.(東京理科大)
媒介変数表示x=1-\cos\theta,~y=\theta-\sin\thetaによって定められるxyについて,\dfrac{dy}{dx},~\dfrac{d^2y}{dx^2}\thetaで表せ.

解答

5.
次の関数の第n次導関数を求めよ.
(1) y=e^x+e^{-x}
(2) y=\sin x
(3) y=xe^x
(4) y=\log x

解答

最後にライプニッツの公式の問題です。

6.(横浜市立大)
(1) 関数f(x)x=aで微分可能であることの定義を書け.
(2) x=aで微分可能である関数f(x),~g(x)に対してh(x)=f(x)g(x)とおくとき,h'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)が成り立つことを,(1)の定義を使って証明せよ.
(3) 何回でも微分可能である関数f(x),~g(x)に対してh(x)=f(x)g(x)とおくとき
h^{(n)}(a)={\displaystyle\sum_{k=0}^{n}} {_n}\mbox{C}_kf^{(n-k)}(a)g^{(k)}(a)~(n=1,~2,~\cdots)
が成り立つことを証明せよ.ただし,f^{(n)}(a)は関数f(x)n次導関数のx=aでの値で,f^{(0)}(a)=f(a)とする.

解答

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